A equação geral da reta que passa pelos pontos A 0 2 eb 1 1 e dada por

D8: MATEMÁTICA - Ensino Médio

D8: Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação.

01

(SAEPE).

Um robô enxerga o piso de uma sala como um plano cartesiano e foi programado para andar em linha reta, passando pelos pontos (1, 3) e (0, 6).

Esse robô foi programado para andar sobre a reta

[tex]y =\ – 3x + 6 [tex]

[tex]y =\ – 3x + 3[tex]

[tex]y =\ – 3x + 1[tex]

[tex]y = 3x + 6[tex]

[tex]y = 3x + 1[tex]

Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (1, 3) e (0, 6) é:

[tex] 6 + 3x -(6x + y) = 0 [tex]

[tex] 6 + 3x - 6x - y = 0 [tex]

[tex] 6 - 3x = y [tex]

Logo, opção A.

ou

Cálculo do coeficiente angular:

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] m = \frac{3 - 6}{1 - 0} [tex]

[tex] m = \frac{- 3}{1} = - 3 [tex]

Então, agora encontrar a equação da reta que passa no ponto (1, 3) e coeficiente angular m = -3.

[tex] -3 = \frac{y - 3}{x - 1} [tex]

[tex] -3(x - 1) = y - 3 [tex]

[tex] -3x + 3 = y - 3 [tex]

[tex] -3x + 3 + 3 = y [tex]

[tex] -3x + 6 = y [tex]

Logo, opção A.

02

(SAEB).

A equação geral da reta que passa pelos pontos A(0, 2) e B(1, 1) é dada por:

[tex]r: x + y + 2 = 0[tex]

[tex]r: –x + y + 2 = 0[tex]

[tex]r: – x + y\ – 2 = 0 [tex]

[tex]r: x + y\ – 2 = 0 [tex]

[tex]r: x\ – y + 2 = 0 [tex]

Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (0, 2) e (1, 1) é:

[tex] 2x + y -(+ 2 + x) = 0 [tex]

[tex] 2x + y - 2 - x = 0 [tex]

[tex] x + y - 2 = 0 [tex]

Logo, opção D.

ou

Cálculo do coeficiente angular:

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] m = \frac{2 - 1}{0 - 1} [tex]

[tex] m = \frac{1}{-1} = - 1 [tex]

Então, agora encontrar a equação da reta que passa no ponto (1, 1) e coeficiente angular [tex]m = -1[tex].

[tex] -1 = \frac{y - 1}{x - 1} [tex]

[tex] -1(x - 1) = y - 1 [tex]

[tex] -x + 1 = y - 1 [tex]

[tex] -x - y + 2 = 0 [tex] (-1)

[tex] x + y - 2 = 0 [tex]

Logo, opção D.

03

(SPAECE).

(SPAECE). O gráfico da figura abaixo passa pelo ponto A de coordenadas (5, 2) e tem inclinação [tex]β = 45º[tex] em relação ao eixo das abscissas, conforme a figura abaixo.

Qual das equações a seguir, representa adequadamente a reta dada?

[tex]y = x - 3[tex]

[tex] y = x - 2[tex]

[tex]y = \frac{x\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{2}y [tex]

[tex]y = 2x - 2 [tex]

[tex]y = \frac{x}{2} - 3 [tex]

Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (5, 2) e ângulo de 45º.

[tex] tg\ 45º = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] 1 = \frac{y\ -\ 2}{x\ -\ 5} [tex]

[tex] y - 2 = x\ - 5 [tex]

[tex] y = x\ - 5 + 2 [tex]

[tex] y = x\ - 3 [tex]

Logo, opção A.

04

(3ª P.D - 2013 – SEDUC-GO).

Identifique a equação da reta que passa pelo ponto (2, –1) e tem coeficiente angular [tex] \frac{1}{2}[tex].

[tex] - x - 2y - 4 = 0 [tex]

[tex] 2x - y + 4 = 0 [tex]

[tex] x - y + 4 = 0 [tex]

[tex] - x + 2y + 4 = 0 [tex]

[tex] 4x - y - 4 = 0 [tex]

Então, agora encontrar a equação da reta que passa no ponto (2, -1) e coeficiente angular [tex]m = \frac{1}{2}[tex].

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] \frac{1}{2} = \frac{y - (-1)}{x - 2} [tex]

[tex] \frac{1}{2} = \frac{y + 1)}{x - 2} [tex]

[tex] 2(y + 1) = x - 2 [tex]

[tex] 2y + 2 - x + 2 = 0 [tex]

[tex] - x + 2y + 4 = 0 [tex]

Logo, opção D.

05

(APA Crede – CE).

Observe o gráfico abaixo.

A equação da reta que passa pelos pontos P(2, 5) e Q (-1, -1) é

[tex]2x\ – y + 1 = 0 [tex]

[tex]2x + 3y + 1 = 0 [tex]

[tex]2x\ – y + 3 = 0[tex]

[tex]6x\ – y\ – 1 = 0 [tex]

[tex]2x\ – y\ – 1 = 0[tex]

Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (2, 5) e (-1, -1) é:

[tex] 5x - y - 2 -(-5 - x + 2y) = 0 [tex]

[tex] 5x - y - 2 + 5 + x - 2y = 0 [tex]

[tex] 6x - 3y + 3 = 0 (÷ 3)[tex]

[tex] 2x - y + 1 = 0 [tex]

Logo, opção A.

ou

Cálculo do coeficiente angular:

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] m = \frac{5 - (-1)}{2 - (-1)} [tex]

[tex] m = \frac{5 + 1}{2 + 1} [tex]

[tex] m = \frac{6}{3} = 2 [tex]

Então, agora encontrar a equação da reta que passa no ponto (2, 5) e coeficiente angular m = 2.

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] 2 = \frac{y - 5}{x - 2} [tex]

[tex] 2(x - 2) = y - 5 [tex]

[tex] 2x - 4 - y + 5 = 0 [tex]

[tex] 2x - y + 1 = 0 [tex]

Logo, opção A.

06

(SAEMS).

A equação da reta que passa pelos pontos A(4, 0) e B(0, 4) é

[tex] y =\ – x\ – 4 [tex]

[tex] y =\ – x + 4 [tex]

[tex] y = x\ – 4 [tex]

[tex] y = x + 4 [tex]

[tex] y = 4x\ – 4 [tex]

Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (4, 0) e (0, 4) é:

[tex] 16 - 4x - 4y = 0 [tex] (÷ 4)

[tex] 4 - x - y = 0 [tex]

[tex] 4 - x = y [tex]

Logo, opção B.

ou

Cálculo do coeficiente angular:

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] m = \frac{0 - 4}{4 - 0} [tex]

[tex] m = \frac{-4}{4} = -1 [tex]

Então, agora encontrar a equação da reta que passa no ponto (4, 0) e coeficiente angular m = -1.

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] -1 = \frac{y - 0}{x - 4} [tex]

[tex] y = -1(x - 4) [tex]

[tex] y = - x + 4 [tex]

Logo, opção B.

07

(Saresp).

A equação da reta que passa pelos pontos de coordenadas (–1, – 1) e (7, 7) é

[tex] 7x\ – y = 0 [tex]

[tex] – x + 7x = 0 [tex]

[tex] x + y = 0 [tex]

[tex] 7x + 7 = 0 [tex]

[tex] x\ – y = 0 [tex]

Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (-1, -1) e (7, 7) é:

[tex] -x + 7y -7 -(-7 + 7x - y) = 0 [tex]

[tex] -x + 7y -7 + 7 - 7x + y = 0 [tex]

[tex] -8x + 8y = 0 ÷(-8)[tex]

[tex] x - y = 0 [tex]

Logo, opção E.

ou

Cálculo do coeficiente angular:

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] m = \frac{-1 - 7}{-1 - 7} [tex]

[tex] m = \frac{-8}{-8} = 1 [tex]

Então, agora encontrar a equação da reta que passa no ponto (7, 7) e coeficiente angular m = 1.

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] 1 = \frac{y - 7}{x - 7} [tex]

[tex] x - 7 = y - 7 [tex]

[tex] x - 7 - y + 7 = 0 [tex]

[tex] x - y = 0 [tex]

Logo, opção E.

08

(SAEP).

Uma reta passa pelos pontos (2, 0) e (0, 1). A equação dessa reta é

[tex] y\ – 2x + 2 = 0 [tex]

[tex] y + 2x + 2 = 0 [tex]

[tex] 2y + x\ – 2 = 0 [tex]

[tex] 2y + x + 2 = 0 [tex]

[tex] 2y\ – x\ – 2 = 0 [tex]

Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (2, 0) e (0, 1) é:

[tex] 2 -(x + 2y) = 0 [tex]

[tex] 2 - x - 2y = 0 ÷(-1) [tex]

[tex] 2y + x - 2 = 0 [tex]

Logo, opção C.

ou

Cálculo do coeficiente angular:

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] m = \frac{0 - 1}{2 - 0} [tex]

[tex] m = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} [tex]

Então, agora encontrar a equação da reta que passa no ponto (2, 0) e coeficiente angular [tex]m = -\frac{1}{2}[tex].

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] -\frac{1}{2} = \frac{y - 0}{x - 2} [tex]

[tex] 2(y - 0) = -1(x - 2) [tex]

[tex] 2y = -x + 2 [tex]

[tex] 2y + x - 2 = 0 [tex]

Logo, opção C.

09

(Saresp 2007).

A reta r, representada no plano cartesiano da figura, corta o eixo y no ponto (0, 4) e corta o eixo x no ponto (–2, 0).

Qual é a equação dessa reta?

[tex] y = x + 4 [tex]

[tex] y = 4x + 2 [tex]

[tex] y = x\ – 2 [tex]

[tex] y = 2x + 4 [tex]

[tex] y = x\ – 4 [tex]

Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (0, 4) e (-2, 0) é:

[tex] -8 -(4x - 2y) = 0 [tex]

[tex] -8 -4x + 2y = 0 ÷(2) [tex]

[tex] -4 -2x + y = 0 [tex]

[tex] y = 2x + 4 [tex]

Logo, opção D.

ou

Cálculo do coeficiente angular:

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] m = \frac{4 - 0}{0 - (-2)} [tex]

[tex] m = \frac{4}{2} = 2 [tex]

Então, agora encontrar a equação da reta que passa no ponto (0, 4) e coeficiente angular m = 2.

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] 2 = \frac{y - 4}{x - 0} [tex]

[tex] y - 4 = 2(x - 0) [tex]

[tex] y - 4 = 2x [tex]

[tex] y = 2x + 4 [tex]

Logo, opção C.

10

(PAEBES).

Mateus representou uma reta no plano cartesiano abaixo.

A equação dessa reta é

[tex]y = - x + 1 [tex]

[tex]y = - x - 1[tex]

[tex]y = x - 1[tex]

[tex] y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - 1 [tex]

[tex] y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + 1 [tex]

Encontrar a equação da reta que passa pelo ponto (0, -1) e ângulo de 45º.

[tex] tg\ 45º = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] 1 = \frac{y - (-1)}{x - 0} [tex]

[tex] 1 = \frac{y + 1}{x} [tex]

[tex] y + 1 = x [tex]

[tex] y = x - 1 [tex]

Logo, opção C.

11

(SAEPE).

Em um plano cartesiano desenhado sobre um mapa do Brasil, a cidade de Vitória está localizada no ponto V(5, 0) e a cidade do Rio de Janeiro no ponto R(1, 8).

Qual é a equação da reta que passa por essas duas cidades nesse mapa?

[tex] y =\ – x + 5 [tex]

[tex] y =\ – 3x + 11 [tex]

[tex] y = 2x + 10 [tex]

[tex] y =\ – 3x + 15 [tex]

[tex] y =\ – 2x + 10 [tex]

Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (5, 0) e (1, 8) é:

[tex] y + 40 -(8x + 5y) = 0 [tex]

[tex] y + 40 -8x - 5y = 0 [tex]

[tex] 40 -8x - 4y = 0 ÷(-4)[tex]

[tex] -10 + 2x + y = 0 [tex]

[tex] y = -2x + 10 [tex]

Logo, opção E.

ou

Cálculo do coeficiente angular:

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] m = \frac{0 - 8}{5 - 1} [tex]

[tex] m = \frac{-8}{4} = -2 [tex]

Então, agora encontrar a equação da reta que passa no ponto (5, 0) e coeficiente angular m = -2.

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] -2 = \frac{y - 0}{x - 5} [tex]

[tex] y - 0 = -2(x - 5) [tex]

[tex] y = -2x + 10 [tex]

Logo, opção E.

12

(SAEB).

Marcos é arquiteto e projetou um novo bairro sobre um plano cartesiano. Ele posicionou numa mesma rua, a Escola no ponto A (2, 3) e o Posto de Saúde no ponto B (3, 5).

Qual é a equação da reta que representa essa rua?

[tex] y = 2x\ - 1 [tex]

[tex] y = 2x + 1 [tex]

[tex] y = x + 1 [tex]

[tex] y = x + 2 [tex]

[tex] y = x\ – 2 [tex]

Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (2, 3) e (3, 5) é:

[tex] 3x + 3y + 10 -(9 + 5x + 2y) = 0 [tex]

[tex] 3x + 3y + 10 - 9 - 5x - 2y = 0 [tex]

[tex] y + 1 - 2x = 0 [tex]

[tex] y = 2x - 1 [tex]

Logo, opção A.

ou

Cálculo do coeficiente angular:

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] m = \frac{3 - 5}{2 - 3} [tex]

[tex] m = \frac{-2}{-1} = 2 [tex]

Então, agora encontrar a equação da reta que passa no ponto (2, 3) e coeficiente angular m = 2.

[tex] m = \frac{Δy}{Δx} [tex]

[tex] 2 = \frac{y - 3}{x - 2} [tex]

[tex] y - 3 = 2(x - 2) [tex]

[tex] y - 3 = 2x - 4 + 3 [tex]

[tex] y = 2x - 1 [tex]

Logo, opção A.