Grátis 1 pág.
- Denunciar
Pré-visualização | Página 1 de 1
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br LISTA DE POLIEDROS 1) Há somente cinco poliedros regulares. Preencha a tabela com os valores sabendo que: M = número de arestas concorrentes em cada vértice; N = número de lados de cada face; V = número de vértice do poliedro; A = número de arestas do poliedro F = número de faces do poliedro; S = soma dos ângulos de todas as faces do poliedro Nome M N V A F S Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro 2) Num poliedro convexo de 10 arestas,o número de faces é igual ao número de vértices . Quantas faces têm o poliedro? (R: F = 6) 3) Um poliedro convexo de onze faces , tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. Calcular o número de arestas e de vértices do poliedro. (R: A = 19 e V = 10) 4) Qual é o número de vértices de um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares, 6 retangulares e uma hexagonal? R: V = 13 5) Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a 5. (R: F = 9) 6) Calcule o número de faces triangulares e quadrangulares de um poliedro convexo com 20 arestas e 10 vértices. (R: 8 triangulares e 4 quadrangulares) 7) Um poliedro convexo tem 6 vértices. De cada vértice partem 4 arestas. Qual o número de faces do poliedro? Se todas as faces forem polígonos do mesmo tipo, que polígono será esse? (R: F = 8. Triangular) 8) Um poliedro convexo tem 9 vértices. De 5 deles partem 4 arestas e dos restantes, 3. Qual o número de faces desse poliedro? (R: F = 9) 9) Um poliedro convexo tem 16 faces. De um de seus vértices partem 5 arestas, dos outros 5 vértices partem 4 arestas e de cada um dos vértices restantes, 3 arestas. Qual o número de vértices do poliedro? (R: V = 21) 10) Achar o número de faces de um poliedro convexo que possui 16 ângulos triédricos. (R: F = 10) 11) Um poliedro convexo, formado por quadriláteros e pentágonos, tem 15 arestas. Se a soma dos ângulos das faces desse poliedro é 2880º, determine: a) o número de vértices. (R: 10) b) o número de faces. (R: 7) c) quantas faces há de cada tipo. (R: 5 quadriláteros e 2 pentágonos) d) quantas diagonais, não das faces, possui esse poliedro. (R: 10)
A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e de alguns não convexos. Dessa forma, essa relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de indicar o número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por Euler é a seguinte:
V – A + F = 2
Nessa fórmula, V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces.
1º Exemplo:
Determine o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 6 vértices.
Resolução:
V – A + F = 2
6 – 10 + F = 2
–4 + F = 2
F = 4 + 2
F = 6
O sólido possui, portanto, 6 faces.
2ºExemplo:
Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir:
Visivelmente, podemos afirmar que a pirâmide apresenta 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos, agora, demonstrar que a relação de Euler é válida para determinar esses elementos da pirâmide de base quadrangular.
Resolução:
Vértices
V – A + F = 2
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)
V – 8 + 5 = 2
V = 2 + 3
V = 5
Arestas
V – A + F = 2
5 – A + 5 = 2
–A = 2 – 10
–A = –8 x(–1)
A = 8
Faces
V – A + F = 2
5 – 8 + F = 2
–3 + F = 2
F = 2 + 3
F = 5
Assim, podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação dos elementos de um sólido convexo.
3º Exemplo:
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces desse poliedro.
Resolução:
Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos representar os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V = x.
Aplicando a relação de Euler:
V – A + F = 2
x – 22 + x = 2
2x = 2 + 22
2x = 24
x = 12
Portanto, o número de faces do poliedro com 22 arestas é igual a 12.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática