Multiplicação e divisão de radicais
Ao realizar as operações de multiplicação e divisão de radicais, devemos atentar em um detalhe importante: os índices das raízes são iguais ou diferentes? Para cada um dos casos, agimos de forma diferenciada, como poderemos ver a seguir:
Quando os índices são iguais
Você se lembra das 3ª e 4ª propriedades da radiciação? De acordo com elas, para realizar o quociente ou a multiplicação de radicais que possuem o mesmo índice, basta fazer a operação desejada entre os radicandos. Vejamos a seguir como realizamos essas operações entre radicais com o mesmo índice:
Quando os índices são diferentes
Para realizar uma multiplicação ou uma divisão entre raízes que apresentam índices distintos, precisamos modificá-las para que todas tenham o mesmo índice. Para tanto, podemos aplicar a 2ª propriedade da radiciação, que afirma que “a raiz não sofre alteração se multiplicarmos ou dividirmos o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo valor.”
Uma das alternativas mais práticas é encontrar o mínimo múltiplo comum entre os índices, reescrevendo os radicais com o novo valor:
Assim como acontece com qualquer outro número, também podemos calcular a potenciação e a radiciação de radicais
Um número contido dentro de um radical será sempre um número. Mesmo que o resultado seja um número racional ou irracional, ainda assim será um número. Por essa razão, é possível realizar soma, subtração, multiplicação e divisão de radicais, bem como podemos aplicar a potenciação e a radiciação.
Quando aplicamos a potenciação a um número qualquer, nós multiplicamos a base por ela mesma quantas vezes indicar o expoente, isto é, se a é a base e n é o expoente, então an = a.a.a.a.a.a...a (n vezes). Nas operações com radicais, a ideia é a mesma. Veja a seguir alguns exemplos:
Observe como é feita a potenciação de radicais
Resolver uma potência em que a base é um radical equivale a fazermos simplesmente: . Isso é válido se n for um número natural maior ou igual a 2, se m for um número inteiro e a for um número real maior ou igual a zero.
Mas e se o radicando (o número dentro da raiz) já possuir um expoente? Nesse caso, a resolução ocorrerá de forma análoga, mas há um detalhe importante: o expoente da potência será multiplicado pelo expoente do radicando, isto é, . Podemos afirmar novamente que essa regra é válida desde que n seja um número natural maior ou igual a 2, m e p sejam números inteiros e a seja um número real maior ou igual a zero. Vejamos alguns exemplos de potenciação de radicais em que o radicando é também uma potência:
Veja como fazemos uma potenciação de radicais cujo radicando já possui um expoente
Assim como podemos realizar a potenciação de radicais, também podemos aplicar a radiciação. Para realizá-la, sempre encontraremos um radical “dentro” de outro radical, expressão essa que não nos é tão comum. Para simplificar esse cálculo, precisamos reduzi-lo a um único radical. Para isso, basta multiplicar pelos índices envolvidos. Genericamente, temos: . Podemos afirmar que essa expressão é válida desde que a seja um número real maior ou igual a zero e m e n sejam números naturais maiores ou iguais a 2. Confira alguns exemplos de radiciação de radicais:
Para calcular a radiciação de radicais,
basta multiplicar os índices envolvidos para ficarmos com apenas um radical