Teoria
Introdução
Falaaa meus queridos, tudo certo!?
Nesse tópico vamos entender melhor o que é uma Função do 1º Grau e como ela se comporta graficamente.
Mas antes de falar disso precisamos nos fazer uma perguntar:
“O que é uma função?”
Na maioria das vezes, a primeira coisa que vem na nossa cabeça quando falamos de funções são aquelas notações comuns:
f x = 3 x + 2
g x = 8 x 2 + 3 x
h x = 5 x 3 + 2 x 2 + 5
Mas o que realmente significa ser uma função?
Para responder isso vamos dizer que uma função “ g” é dada por g x = 2 x + 1.
Quando escrevemos g ( x ) queremos dizer que a função “ g” varia conforme o valor de “ x” também varia.
Ou seja, para x = 1, a função será:
g 1 = 2 ∙ 1 + 1
g 1 = 2 + 1
g 1 = 3
Para x = 2:
g 2 = 2 ∙ 2 + 1
g 2 = 4 + 1
g 2 = 5
E assim por diante...
Percebeu? Conforme os valores de “ x” mudam, o valor da g ( x ) também muda, logo g está em função de “ x”.
Função do 1º Grau ou Função Afim
Já demos uma relembrada nos conceitos de funções.
Mas como identificar uma função do 1º grau?
A lei de formação é dada por:
y = a x + b
Onde:
a → coeficiente angular.
b →coeficiente linear.
Obs: y é o mesmo que f ( x ) , g ( x ), h ( x )...
QUE??????
Relaaxa!!
Com um exemplo tudo fica mais fácil...
Olhe essa função:
f x = 3 x + 2
Nesse caso:
y = f x ;
a = 3;
b = 2.
Ok, mas pra que serve esses coeficientes?
Eles são importantes quando queremos estudar o comportamento gráfico das funções.
Gráfico da Função do 1º Grau
Grave isso:
“O gráfico de uma função afim sempre será um RETA!!!”
E agora, os valores de a e de b serão muito úteis para entendermos esses gráficos.
a (coeficiente angular) – Será a inclinação da reta.
b (coeficiente linear) – Será o valor em que a função cruza o eixo y.
Mas como eu consigo montar um gráfico de uma função afim?
Como o gráfico da função afim é uma reta, basta que nós encontremos dois pontos por onde a reta passa e traçar a reta passando por eles.
Exemplo
Vamos esboçar o gráfico da função f x = 3 x + 2.
Primeiramente, precisamos achar dois pontos que pertençam à reta.
Esses pontos podem ser encontrados substituindo qualquer valor para x, porém, para facilitar os cálculos, podemos escolher x = 0 e x = 1.
Para f ( 0 ), temos:
f 0 = 3 ∙ 0 + 2
f 0 = 0 + 2
f 0 = 2
Para f ( 1 ), temos:
f 1 = 3 ∙ 1 + 2
f 1 = 3 + 2
f 1 = 5
Desse modo, encontramos dois pontos que pertencem à reta, dados pelos pares ordenados P ( 0,2 ) e P ( 1,5 ):
Por fim, como já temos dois pontos por onde a reta passa, precisamos apenas traça-la passando por esses dois pontos:
E está feito nosso gráfico da função f x = 3 x + 2.
Raiz de uma Função do 1º Grau
Em uma reta que se estende por todos os reais R, o eixo y terá em algum momento valor igual a zero.
Esse ponto ocorre graficamente quando a reta cruza o eixo x.
Mas como achar o valor da raiz?
Em uma reta f x = a x + b, f ( x ) representa o eixo y.
Dessa forma, se acharmos um valor de x que faça com que f x = 0, esse será a raiz da função.
Exemplo: Encontre a raiz da função f x = 3 x + 9
Primeiramente, igualamos a função a zero.
3 x + 9 = 0
Agora é só resolver...
3 x = - 9
x = - 9 3
x = - 3
E está aí, a reta cruza o eixo x em x = - 3, logo, x = - 3 é a raiz da função.
Tranquilasso né!?
Função do 1º Grau ou Função Afim
Gráfico da Função do 1º Grau
Exemplo
Raiz de uma Função do 1º Grau
Exercício Resolvido #1
Autoria própria.
Determine o coeficiente linear da função f x = 3 x - 2.
Passo 1
Pela lei de formação, temos que:
y = a x + b
Onde:
a → Coeficiente angular.
b → Coeficiente linear.
Sendo assim na função f x = 3 x - 2
a = 3
b = - 2
Resposta
Exercício Resolvido #2
Autoria própria.
Encontre a raiz da função g x = 3 x - 21
Passo 1
Primeiramente, devemos igualar a equação a zero.
3 x - 21 = 0
Resolvendo a equação, temos:
3 x - 21 = 0
3 x = 21
x = 21 3
x = 7
Resposta
Exercício Resolvido #3
Autoria própria.
Qual é o valor da função f x = 12 x + 17 para x = 1 2 .
a) 21
b) 17
c) 25
d) 23
e) 19
Passo 1
Tudo que precisamos fazer aqui é substituir o valor de x na função.
f 1 2 = 12 x + 17
f 1 2 = 12 ∙ 1 2 + 17
f 1 2 = 6 + 17
f 1 2 = 23
Resposta
Exercício Resolvido #4
Autoria própria.
Determine a função afim f ( x ) = a x + b, sabendo que f 2 = 6 e f - 1 = 0
Passo 1
Pelo enunciado, temos que f 2 = 6, logo:
2 a + b = 6
Também sabemos que f - 1 = 0, logo:
- a + b = 0
Como chegamos em duas equações com termos iguais, podemos montar um sistema.
2 a + b = 6 - a + b = 0
Isolando b na segunda equação, temos:
- a + b = 0
b = a
Passo 2
Substituindo o valor encontrado na primeira equação, conseguimos achar o valor de a.
2 a + b = 6
2 a + a = 6
3 a = 6
a = 6 3
a = 2
Como a = b, o valor de b também será igual a 2.
Com os valores de a e b conseguimos determinar a função.
f x = 2 x + 2
Resposta
Exercício Resolvido #5
(U. Católica de Salvador-BA).
Seja a função f de R em R definida por f x = 54 x + 45, determine o valor de f 2.541 - f ( 2.540 ).
Passo 1
Você pode encontrar esse resultado de duas maneiras.
1º Caso
Substituindo os valores em x e depois subtraindo:
X = f 2.541 - f ( 2.540 )
X = 54 ∙ 2.541 + 45 - ( 54 ∙ 2.540 + 45 )
X = 137.259 - ( 137.205 )
X = 54
Passo 2
2º Caso
Podemos pensar que f ( 2.541 ) é uma unidade maior que f ( 2.540 ).
Sendo assim, não importa quais valores pegarmos, desde que q tenham a mesma proporção.
Exemplo:
f 1.000 - f ( 999 )
f 436 - f ( 435 )
f 38 - f ( 37 )
Para facilitar as contas podemos escolher x = 1 e x = 0, e assim teremos:
X = 54 ∙ 1 + 45 - 54 ∙ 0 + 45
X = 54 + 45 - ( 45 )
X = 54
Resposta
Exercício Resolvido #6
(U. F. Viçosa-MG).
Uma função f é dada por f x = a x + b, em que a e b são números reais. Se f - 1 = 3 e f 1 = - 1, determine o valor de f ( 3 ).
Passo 1
Para f ( - 1 ) a função vale 3. Logo:
- a + b = 3
Para f ( 1 ) a função vale - 1. Logo:
a + b = - 1
Como temos termos semelhantes, podemos montar um sistema de equações e descobrir os valores de a e b.
- a + b = 3 a + b = - 1
Isolando a na segunda equação temos:
a + b = - 1
a = - 1 - b
Substituindo na primeira equação, conseguimos encontrar o valor de b.
- a + b = 3
- - 1 - b + b = 3
CUIDADO COM O SINAL!!!
1 + b + b = 3
2 b = 3 - 1
2 b = 2
b = 2 2
b = 1
Substituindo o valor de b na segunda equação, conseguimos achar o valo de a.
a + b = - 1
a + 1 = - 1
a = - 1 - 1
a = - 2
Passo 2
Com os valores de a e b encontrados, podemos definir a função.
f x = - 2 x + 1
Para x = 3, temos:
f 3 = - 2 ∙ ( 3 ) + 1
f 3 = - 6 + 1
f 3 = - 5
Resposta
Exercício Resolvido #7
Elaboração Própria.
Esboce os seguintes gráficos:
- f x = 1 2 x
- f x = - 2 x + 5
Passo 1
a)
f x = 1 2 x
Para montar o gráfico de uma função afim, precisamos de 2 pontos para formar uma reta. Ou seja, escolhemos 2 valores para x e descobrimos o valor de f x .
f x = 1 2 x
Note que b = 0, mas mesmo assim continuamos tendo uma função afim.
Vamos agora escolher dois valores de x.
Para x = 0:
f 0 = 1 2 0
f 0 = 0
Para x = 2:
f 2 = 1 2 2
f 2 = 1
Assim, os pontos ( 0 , 0 ) e 2 , 1 pertencem a nossa reta:
Agora é só traçar a reta que contém esses dois pontos:
Pronto esse é o nosso gráfico.
Passo 2
b)
f x = - 2 x + 5
Novamente, vamos pegar dois valores de x e calcularemos f ( x ) para esses valores:
Para x = 0:
f 0 = - 2 0 + 5
f 0 = 5
Para x = 1:
f 1 = - 2 1 + 5
f 1 = - 2 + 5
f 1 = 3
Assim, temos os pontos ( 0 , 5 ) e ( 1 , 3 ):
Agora, traçando a reta, temos que nosso gráfico é:
Resposta
a)
b)
Exercício Resolvido #8
DANTE, Luiz Roberto. Matemática- contexto e aplicações. ED. Renovada. São Paulo, SP: ática, 2010. pp.121
Determine o valor de m para que os gráficos da função f x = 2 x + m - 3:
- Intersecte o eixo y no ponto ( 0,5 );
- Intersecte o eixo x no ponto ( 3,0 );
Passo 1
- Vamos relembrar que numa função afim, temos: y = a x + b
- Em um par ordenado, temos :
Na qual b é o coeficiente linear, ou seja, o valor que intercepta o eixo y no nosso gráfico.
Nesse casso queremos que intercepte no valor
( 0,5 )
x = 0 e y = 5
Assim queremos que b = 5
Na nossa funçãozinha temos :
f x = 2 x + m - 3
Nosso coeficiente linear nesse caso é :
b = m - 3 = 5
m - 3 = 5
m = 5 + 3
m = 8
Assim, para que intercepte o eixo y m = 8
Passo 2
x , y
O primeiro valor corresponde ao valor de x e o segundo de y.
Feito isso, queremos:
( 3,0 )
O valor de x = 3 e y = 0
Vamos substituir esse valor na nossa funçãozinha:
f x = 2 x + m - 3
Lembrando que f x = y
y = 2 x + m - 3
0 = 2 3 + m - 3
0 = 6 - 3 + m
0 = 3 + m
m = - 3
Resposta
- m = 8
- m = - 3
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