--- Considere a primeira equação: Desenvolvendo a expressão matemática da operação \(\cap\), obtemos: Logo: Considere agora a segunda equação: Repetindo o processo para esta equação, temos: Logo: Somando-se as equações (1) e (2), obtemos: Portanto: Substituindo (3) em (2), obtemos: Donde: Substituindo (4) em (3), obtemos: Podemos obter o valor de a usando a fórmula resolutiva das equações de 2º grau. A solução positiva para a equação acima é dada por: Substituindo o valor de a em (3), temos:
\[a \cap b = 24\]
\[\left( {a + 1} \right)\left( {b - 1} \right) =
24\]
\[ab - a + b - 1 = 24\]
\[\eqalignno{ ab - a +b &= 25 &(1) }\]
\[b \cap a = 30\]
\[\left( {b + 1} \right)\left( {a - 1} \right) = 30\]
\[ab - b + a - 1 = 30\]
\[\eqalignno{ ab + a - b &= 31 &(2) }\]
\[2ab =
56\]
\[\eqalignno{ ab &= 28 &(3) }\]
\[\eqalign{ 28 + a - b &= 31 &\cr a - b &= 3 &}\]
\[\eqalignno{ b &= a-3 &(4) }\]
\[\eqalign{ a(a - 3) &= 28 &\cr {a^2} - 3a - 28 &= 0 &}\]
\[a = {{3 + \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} - 4 \times 1 \times \left( { - 28} \right)} } \over 2} = {{3 + \sqrt {121} } \over 2} = 7\]
\[\eqalign{ 7b &= 28 &\cr b &= 4 &}\]
Assim, conclui-se que o valor de \(a + b\) é:
\[\boxed{a + b = 7 + 4 = 11}\]
---
Portanto, a resposta correta para esta questão é a alternativa A.
---
Considere a primeira equação:
\[a \cap b = 24\]
Desenvolvendo a expressão matemática da operação \(\cap\), obtemos:
\[\left( {a + 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 24\]
\[ab - a + b - 1 = 24\]
Logo:
\[\eqalignno{ ab - a +b &= 25 &(1) }\]
Considere agora a segunda equação:
\[b \cap a = 30\]
Repetindo o processo para esta equação, temos:
\[\left( {b + 1} \right)\left( {a - 1} \right) = 30\]
\[ab - b + a - 1 = 30\]
Logo:
\[\eqalignno{ ab + a - b &= 31 &(2) }\]
Somando-se as equações (1) e (2), obtemos:
\[2ab = 56\]
Portanto:
\[\eqalignno{ ab &= 28 &(3) }\]
Substituindo (3) em (2), obtemos:
\[\eqalign{ 28 + a - b &= 31 &\cr a
- b &= 3 &}\]
Donde:
\[\eqalignno{ b &= a-3 &(4) }\]
Substituindo (4) em (3), obtemos:
\[\eqalign{ a(a - 3) &= 28 &\cr {a^2} - 3a - 28 &= 0 &}\]
Podemos obter o valor de a usando a fórmula resolutiva das equações de 2º grau. A solução positiva para a equação acima é dada por:
\[a = {{3 + \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} - 4 \times 1 \times \left( { - 28} \right)} } \over 2} = {{3 + \sqrt {121} } \over 2} = 7\]
Substituindo o valor de a em (3), temos:
\[\eqalign{ 7b &= 28 &\cr b &= 4 &}\]
Assim, conclui-se que o valor de \(a + b\) é:
\[\boxed{a + b = 7 + 4 = 11}\]
---
Portanto, a resposta correta para esta questão é a alternativa A.
OBMEP Nível 3 2009
Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros, para a qual ele usa o sinal ∗ . Ela funciona assim:
a ∗ b = (a + 1) (b − 1)
Por exemplo, 3 ∗5 = (3 +1) × (5 −1) = 16 . Se a e b são inteiros
positivos tais que a ∗ b = 24 e b ∗ a = 30, quanto vale a + b?
A)
11
B)
12
C)
15
D)
16
E)
18
Ver resposta
Resposta correta:
A
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