Observe no quadro abaixo os cinco primeiros termos de uma sequência numérica

Sequência numérica é uma lista formada por números que possui uma ordem, geralmente, bem definida. Uma sequência contém o que conhecemos como lei de formação, ou lei de recorrência, o que nos permite encontrar os próximos termos do seguimento. Por exemplo, podemos montar a sequência formada pelos números pares em ordem crescente (0, 2, 4, 6,…), ou então a sequência dos números múltiplos de 10 (0, 10, 20, 30, 40,…), entre outras várias sequências possíveis.

Uma sequência pode ser finita ou infinita, dependendo da quantidade de elementos que ela possui. Ela também pode ser crescente, decrescente, oscilante ou constante. Além disso, existem casos particulares de sequência, conhecidos como progressões. Elas podem ser classificadas como progressões aritméticas ou geométricas.

Leia também: Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

Resumo sobre sequência numérica

• Sequência é uma lista de números organizados em ordem.

• Exemplos de sequência numérica:

  • Sequência decrescente dos divisores de 20: (20, 10, 5, 4, 2, 1).

  • Sequência de números ímpares: (1, 3, 5, 7,…).

• Uma sequência pode ser finita ou infinita.

  • Finita: quando possui uma quantidade limitada de termos.

  • Infinita: quando possui uma quantidade ilimitada de termos.

• Uma sequência é classificada como crescente, descrente, constante ou oscilante.

• São casos especiais de sequência a progressão aritmética e a progressão geométrica.

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Lei de ocorrência de sequência numérica

Chamamos de sequência numérica uma lista de números com ordem determinada. Para denotar uma sequência, escrevemos os números entre parênteses, como no exemplo a seguir:

(a1, a2, a3,..., an)

• a1 é o1º termo da sequência.

• a2 é o 2º termo da sequência.

• a3 é o3º termo da sequência.

• an é o n-ésimo termo da sequência.

Conhecemos como lei de ocorrência a regra que rege a sequência numérica. Podemos ter vários critérios para a formação de uma sequência numérica, de acordo com determinadas características desses números. Vejamos alguns exemplos a seguir.

• Exemplo 1: lei de ocorrência da sequência dos números múltiplos de 4:

(0, 4, 8, 12, 16, 20,…)

• Exemplo 2: lei de ocorrência da sequência dos números ímpares:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…)

• Exemplo 3: lei de ocorrência da sequência dos números negativos maiores que -5:

(-4, -3, -2, -1)

Leia também: Curiosidades sobre os números

Classificação de sequência numérica

Existem duas maneiras de classificar uma sequência. Uma delas tange a quantidade de termos, definindo as sequências como finita ou infinita. A outra refere-se a seu comportamento, distinguindo as sequências como crescente, decrescente, constante ou oscilante.

→ Classificação da sequência numérica quanto à quantidade de termos

• Finita: quando a sequência possui uma quantidade limitada de termos.

Exemplos:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10)

b) (1, -1, 2, -2, 3, -3)

c) (1, 4, 9, 16, 25)

• Infinita: quando a sequência possui uma quantidade ilimitada de termos.

Exemplos:

a) (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…)

b) (3, 6, 9, 12,…)

c) (3, 9, 27, 81,…)

→ Classificação da sequência numérica quanto ao comportamento

• Crescente: quando um termo da sequência é menor que o seu sucessor.

Exemplos:

a) (1, 2, 3, 4, 5,…)

b) (-2, 0, 2, 4, 6)

• Decrescente: quando um termo da sequência é maior que o seu sucessor.

Exemplos:

a) (16, 13, 10, 7,…)

b) (-3, -9, -27, -81,…)

• Constante: quando um termo da sequência é sempre o mesmo.

Exemplos:

a) (0, 0, 0, 0, 0)

b) (4, 4, 4, 4,...)

• Oscilante: quando a sequência não se comporta de nenhuma das maneiras citadas, ou seja, ela não é crescente, nem decrescente, nem constante.

Exemplos:

a) (0, 1, 0, 1, 0, 1)

b) (1, -2, 3, -4, 5, -5,…)

Lei de formação da sequência numérica

A lei de formação de uma sequência é uma expressão algébricaque nos permite encontrar cada um dos termos da sequência por meio de uma fórmula. Existem algumas sequências em particular com lógicas demonstráveis por meio de uma lei de formação. Vejamos alguns casos a seguir.

Exemplo:

Uma sequência possui lei de formação do tipo an = n² + n. Encontre os seus 6 primeiros termos.

a1 = 1² + 1 = 1 + 1 = 2

a2 = 2² + 2 = 4 + 2 = 6

a3 = 3² + 3 = 9 + 3 = 12

a4 = 4² + 4 = 16 + 4 = 20

a5 = 5² + 5 = 25 + 5 = 30

a6 = 6² + 6 = 36 + 6 = 42

(2, 6, 12, 20, 30, 42,…)

Progressão aritmética e progressão geométrica

Existem casos particulares de sequência denominados progressões. Elas se subdividem em dois tipos: progressões aritméticas e geométricas.

• Progressão aritmética

Para que uma sequência seja considerada uma progressão aritmética (PA), a diferença entre um termo qualquer da sequência e o seu sucessor é sempre constante. Essa diferença é conhecida como razão, representada por r.

Exemplos:

a) Progressão aritmética de razão 3: (1, 4, 7, 10, 13,…). Note que de um termo para o seu sucessor, basta somar 3.

b) Progressão aritmética de razão -5: (16, 11, 6, 1, -4,…).

• Progressão geométrica

Para que uma sequência seja considerada uma progressão geométrica (PG), a divisão entre um termo e o seu antecessor tem sempre o mesmo quociente. Esse resultado é representado por q, tido como a razão de uma progressão geométrica.

Exemplos:

a) Progressão geométrica de razão 2: (2, 4, 8, 16, 32,…).

b) Progressão geométrica de razão -3: (5, -15, -45, -135,…).

Leia também: Três erros mais cometidos em progressões no Enem

Exercícios resolvidos sobre sequência numérica

Questão 1

(Instituto Consulplan) Observe a sequência numérica: 12, 14, 17, 21, 26, 32, 39,.... A soma dos dois próximos números da sequência é:

A) 99

B) 101

C) 103

D) 105

Resolução:

Alternativa C.

Analisando a sequência, é necessário compreender qual é a lógica para identificação dos próximos termos. Note que o primeiro termo é 12 e nele foi adicionado 2.

12 + 2 = 14

Já ao termo 14 foi adicionado 3:

14 + 3 = 17

Ao 17, foi adicionado 4:

17 + 4 = 21

Continuando com essa mesma lógica, temos que:

21 + 5 = 26

26 + 6 = 32

32 + 7 = 39

Agora queremos encontrar os dois próximos termos:

39 + 8 = 47

47 + 9 = 56

Então a soma 47 + 56 = 103

Questão 2

Os números abaixo estão dispostos em uma sequência lógica:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, A, B, 55, 89,...

Nesse caso, pode-se afirmar que A+B é igual a:

A) 55

B) 64

C) 74

D) 82

Resolução:

Alternativa A.

É possível perceber que a partir do 3º termo, para encontrar um próximo na sequência basta somar os dois antecessores ao número verificado:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

5 + 3 = 8

Assim sucessivamente. Então, podemos afirmar que A + B = 55