Que tal fazer alguns exercícios de arranjo simples para você treinar? Depois de ter visto o que é arranjo simples, chegou a hora de colocar seus conhecimentos em prática. Neste artigo, trouxemos 9 exercícios para você fixar tudo o que aprendeu. Mas antes disso, que tal fazer uma breve revisão sobre o assunto? Recordando sobre arranjo simplesOs arranjos são agrupamentos em que se considera a ordem em que os elementos estão agrupados, lembra? Por exemplo: a palavra MALA pode se tornar LAMA apenas mudando a ordem das letras, ou seja, de seus elementos. Na matemática chamamos os elementos dados de n e os elementos escolhidos de p. Vejamos outro exemplo: eu possuo 6 opções de refrigerante para comprar, mas só tenho dinheiro para comprar 3. Neste caso, as 6 opções de refrigerante serão n e os 3 refrigerantes que eu irei escolher serão p. Depois, substituímos os números na fórmula: A = 120 possibilidades. Observação: p sempre será menor ou igual ao n. Ele NUNCA será maior, pois como no exemplo dos refrigerantes, seria impossível escolher 7 deles, considerando que há apenas 6 opções de refrigerantes. E o mais importante é que os elementos escolhidos alteram o produto final.
Além disso, você deve ter percebido que em problemas de análise combinatória surgem com frequência expressões como: 3! = 3 x 2 x 1 (lê-se três fatorial). 4! = 4 x 3 x 2 x 1 (lê-se quatro fatorial). Os números fatoriais servem para simplificar a escrita dessas operações, que podem ser enormes e também existem regras determinadas, como por exemplo: 1! = 1 0! = 1 Os números fatoriais podem ainda ser expressos de diferentes maneiras: 2! = 2 x 1 = 2 3! = 3 x 2 x 1 = 6 → 3! = 3 x 2! 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 → 4! = 4 x 3! 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 → 5! = 5 x 4! 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 → 6! = 6 x 5! 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 → 7! = 7 x 6! Representando o fatorial em símbolos, pode-se dizer que: n! = n x (n-1) x (n-2)… x (n-x) Portanto, podemos concluir que o arranjo simples serve principalmente para avaliar as várias possibilidades quando não se deve haver repetição de opções, sendo possível sua aplicação em muitas situações, inclusive no nosso cotidiano. Conseguiu relembrar o conceito de arranjo simples? Agora, vamos aos exercícios! 1. Em uma tarde, 6 amigos planejaram apostar uma corrida de kart, decidiram que teriam apenas 3 vencedores. Quantos pódios diferentes podem ocorrer? Solução: Existem 6 opções e 3 maneiras de agrupamento, então: A = 120 possibilidades diferentes. 2. Hoje é aniversário do namorado de Marta e ela decidiu contratar o serviço “Loucuras de Amor” para comemorar esse dia especial. Porém, ela precisa escolher 3 músicas para serem tocadas. Marta conhece 5 músicas que seu namorado gosta. De quantas maneiras a escolha das músicas podem ser feitas? Solução: São 5 opções de música, porém, apenas 3 maneiras de agrupamento, portanto: A = 60 maneiras diferentes. 3. Daniel e Elisa decidiram que já estava na hora de pintar a casa deles. Estavam com dificuldades em escolher que cores usar, eram tantas… Então, eles reduziram as escolhas, chegando em 10 cores de tintas e queriam escolher 4 delas. De quantas maneiras diferentes a escolha das cores pode ser feita? Solução: São 10 opções de cores e 4 formas de agrupamento, sendo assim: A = 5.040 maneiras diferentes para as cores. 4. Fernando é um cara que gosta de música. Por isso, pensa em seguir carreira de artista, mas antes precisa de experiência. Ele gosta de muitos instrumentos, 7 chamam a sua atenção, porém ele não quer se sobrecarregar. Fernando decide começar com três. Quantas combinações de sons ele pode praticar? Solução: São 7 opções de instrumento, porém, apenas 3 formas de agrupamento. Assim: A = 210 combinações de sons que Fernando poderá praticar.
5. 6 lápis estão dentro de um estojo e eu preciso utilizar 2. De quantas maneiras essa escolha pode ser feita? Solução: São 6 opções de lápis e 2 maneiras diferentes de agrupamento, então: A = 30 maneiras de escolha. 6. Quantas senhas de 5 dígitos diferentes são possíveis utilizando os números de 0 a 9? Solução: São 10 opções de números e 5 maneiras diferentes de agrupamento. Sendo assim: A = 30.240 possibilidades de senha. 7. Em um concurso de talentos 9 candidatos foram selecionados, mas apenas 3 podem ocupar o pódio. Nessa condição, de quantas formas o pódio poderá ser composto? Solução: São 9 opções e 3 maneiras distintas de agrupamento, portanto: A = 504 possibilidades para ocupar o pódio. 8. Uma empresa realizou entrevistas com 20 candidatos, porém, apenas 8 vão ser contratados. Considerando que 3 já tem a vaga garantida, quantas são as possibilidades restantes para ocupar as vagas que sobraram? Solução: De 20 candidatos, restaram 17 para serem contratados. De 8 vagas, restaram apenas 5 para serem ocupadas. A = 742.560 possibilidades de seleção. 9. Das afirmações a seguir, quais estão corretas? a) I e II b) II e III c) Apenas II d) Apenas III e) Todas as alternativas Solução: I – Sabe-se que 5! (5 x 4 x 3 x 2 x 1) vale 120, 4! (4 x 3 x 2 x 1) vale 24 e 9! (9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) vale 362.880, então: 120 + 24 = 362.880 144 = 362.880 Com isso conclui-se que a alternativa I é FALSA. II – Para a divisão de fatoriais, realiza-se o seguinte processo: 50! 48! Abre-se o 50! até chegar no valor contido no fatorial abaixo: 50 x 49 x 48! 48! (Cortando 48! com 48!) 50 x 49 = 2.450 2.450 > 500, portanto, a alternativa II também é FALSA. III – Sabe-se que 2! (2 x 1) vale 2 e 3! (3 x 2 x 1) vale 6, portanto: 2 x 6 = 2 x 6 12 = 12 Então, essa alternativa é VERDADEIRA. Com isso, a alternativa correta é a D. Conseguiu acompanhar os exercícios de arranjo simples? Esperamos que esses exemplos tenham sido suficientes para você fixar o conteúdo. Para você aprofundar em outros temas da Matemática, leia nosso próximo artigo e saiba o que são medidas de tendência central. Ótimo aprendizado! |