Que tal fazer alguns exercícios de arranjo simples para você treinar? Depois de ter visto o que é arranjo simples, chegou a hora de colocar seus conhecimentos em prática.
Neste artigo, trouxemos 9 exercícios para você fixar tudo o que aprendeu. Mas antes disso, que tal fazer uma breve revisão sobre o assunto?
Recordando sobre arranjo simples
Os arranjos são agrupamentos em que se considera a ordem em que os elementos estão agrupados, lembra? Por exemplo: a palavra MALA pode se tornar LAMA apenas mudando a ordem das letras, ou seja, de seus elementos.
Na matemática chamamos os elementos dados de n e os elementos escolhidos de p.
Vejamos outro exemplo: eu possuo 6 opções de refrigerante para comprar, mas só tenho dinheiro para comprar 3. Neste caso, as 6 opções de refrigerante serão n e os 3 refrigerantes que eu irei escolher serão p. Depois, substituímos os números na fórmula:
A = 120 possibilidades.
Observação: p sempre será menor ou igual ao n. Ele NUNCA será maior, pois como no exemplo dos refrigerantes, seria impossível escolher 7 deles, considerando que há apenas 6 opções de refrigerantes. E o mais importante é que os elementos escolhidos alteram o produto final.
Aproveite para ler: Saiba o que é matriz, seus tipos e como fazer suas operações.
Além disso, você deve ter percebido que em problemas de análise combinatória surgem com frequência expressões como:
3! = 3 x 2 x 1 (lê-se três fatorial).
4! = 4 x 3 x 2 x 1 (lê-se quatro fatorial).
Os números fatoriais servem para simplificar a escrita dessas operações, que podem ser enormes e também existem regras determinadas, como por exemplo:
1! = 1
0! = 1
Os números fatoriais podem ainda ser expressos de diferentes maneiras:
2! = 2 x 1 = 2
3! = 3 x 2 x 1 = 6 → 3! = 3 x 2!
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 → 4! = 4 x 3!
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 → 5! = 5 x 4!
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 → 6! = 6 x 5!
7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 → 7! = 7 x 6!
Representando o fatorial em símbolos, pode-se dizer que:
n! = n x (n-1) x (n-2)… x (n-x)
Portanto, podemos concluir que o arranjo simples serve principalmente para avaliar as várias possibilidades quando não se deve haver repetição de opções, sendo possível sua aplicação em muitas situações, inclusive no nosso cotidiano.
Conseguiu relembrar o conceito de arranjo simples? Agora, vamos aos exercícios!
1. Em uma tarde, 6 amigos planejaram apostar uma corrida de kart, decidiram que teriam apenas 3 vencedores. Quantos pódios diferentes podem ocorrer?
Solução:
Existem 6 opções e 3 maneiras de agrupamento, então:
A = 120 possibilidades diferentes.
2. Hoje é aniversário do namorado de Marta e ela decidiu contratar o serviço “Loucuras de Amor” para comemorar esse dia especial. Porém, ela precisa escolher 3 músicas para serem tocadas. Marta conhece 5 músicas que seu namorado gosta. De quantas maneiras a escolha das músicas podem ser feitas?
Solução:
São 5 opções de música, porém, apenas 3 maneiras de agrupamento, portanto:
A = 60 maneiras diferentes.
3. Daniel e Elisa decidiram que já estava na hora de pintar a casa deles. Estavam com dificuldades em escolher que cores usar, eram tantas… Então, eles reduziram as escolhas, chegando em 10 cores de tintas e queriam escolher 4 delas. De quantas maneiras diferentes a escolha das cores pode ser feita?
Solução:
São 10 opções de cores e 4 formas de agrupamento, sendo assim:
A = 5.040 maneiras diferentes para as cores.
4. Fernando é um cara que gosta de música. Por isso, pensa em seguir carreira de artista, mas antes precisa de experiência. Ele gosta de muitos instrumentos, 7 chamam a sua atenção, porém ele não quer se sobrecarregar. Fernando decide começar com três. Quantas combinações de sons ele pode praticar?
Solução:
São 7 opções de instrumento, porém, apenas 3 formas de agrupamento. Assim:
A = 210 combinações de sons que Fernando poderá praticar.
Leia também: Vamos praticar fazendo alguns exercícios de matrizes?
5. 6 lápis estão dentro de um estojo e eu preciso utilizar 2. De quantas maneiras essa escolha pode ser feita?
Solução:
São 6 opções de lápis e 2 maneiras diferentes de agrupamento, então:
A = 30 maneiras de escolha.
6. Quantas senhas de 5 dígitos diferentes são possíveis utilizando os números de 0 a 9?
Solução:
São 10 opções de números e 5 maneiras diferentes de agrupamento. Sendo assim:
A = 30.240 possibilidades de senha.
7. Em um concurso de talentos 9 candidatos foram selecionados, mas apenas 3 podem ocupar o pódio. Nessa condição, de quantas formas o pódio poderá ser composto?
Solução:
São 9 opções e 3 maneiras distintas de agrupamento, portanto:
A = 504 possibilidades para ocupar o pódio.
8. Uma empresa realizou entrevistas com 20 candidatos, porém, apenas 8 vão ser contratados. Considerando que 3 já tem a vaga garantida, quantas são as possibilidades restantes para ocupar as vagas que sobraram?
Solução:
De 20 candidatos, restaram 17 para serem contratados.
De 8 vagas, restaram apenas 5 para serem ocupadas.
A = 742.560 possibilidades de seleção.
9. Das afirmações a seguir, quais estão corretas?
a) I e II
b) II e III
c) Apenas II
d) Apenas III
e) Todas as alternativas
Solução:
I – Sabe-se que 5! (5 x 4 x 3 x 2 x 1) vale 120, 4! (4 x 3 x 2 x 1) vale 24 e 9! (9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) vale 362.880, então:
120 + 24 = 362.880
144 = 362.880
Com isso conclui-se que a alternativa I é FALSA.
II – Para a divisão de fatoriais, realiza-se o seguinte processo:
50!
48!
Abre-se o 50! até chegar no valor contido no fatorial abaixo:
50 x 49 x 48!
48!
(Cortando 48! com 48!)
50 x 49 = 2.450
2.450 > 500, portanto, a alternativa II também é FALSA.
III – Sabe-se que 2! (2 x 1) vale 2 e 3! (3 x 2 x 1) vale 6, portanto:
2 x 6 = 2 x 6
12 = 12
Então, essa alternativa é VERDADEIRA.
Com isso, a alternativa correta é a D.
Conseguiu acompanhar os exercícios de arranjo simples? Esperamos que esses exemplos tenham sido suficientes para você fixar o conteúdo. Para você aprofundar em outros temas da Matemática, leia nosso próximo artigo e saiba o que são medidas de tendência central. Ótimo aprendizado!