A figura abaixo descreve a situação proposta:
A partir da figura podemos construir duas tabelas: na primeira estão os dados relativos à seqüência de círculos e, na segunda tabela, aqueles relativos à seqüência de quadrados. A construção de tais tabelas é feita de maneira alternada, ou seja:
• conhecido o raio do círculo inicial, encontramos
o lado do quadrado nele inscrito;
• a partir daí, conhecido o lado do quadrado, determinamos o raio do círculo inscrito nesse quadrado que é o segundo círculo;
• em seguida, determinamos o lado do quadrado inscrito no segundo círculo, que é o segundo quadrado;
• continuamos assim indefinidamente ...
Raio | Perímetro | Área | |
1a circunferência | R1=R | 2pR | pR2 |
2a circunferência | R2= | 2p |
|
3a circunferência | R3= | pR |
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4a circunferência | R4= |
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Lado | Perímetro | Área | |
1o quadrado | I1=R | 4R | 2R2 |
2o quadrado | I2=R | 4R | R2 |
3o quadrado | I3= |
| |
4o quadrado | I4= | 2R |
a) a razão entre a área de um dos círculos e a área do quadrado nele inscrito:
Para cada círculo de raio r, o quadrado inscrito tem lado . Assim sendo, o quociente das áreas entre esse círculo e esse quadrado é:
ou seja é um número que independe do tamanho do raio do círculo, ou do lado do quadrado nele inscrito.
b) a razão entre os comprimentos de duas circunferências consecutivas:
Dada uma circunferência de raio r, o quadrado nela inscrito tem lado e a circunferência inscrita nesse quadrado tem raio .
Assim, a razão entre os comprimentos de duas circunferências consecutivas é dada por:
independentemente de quais duas circunferências da seqüência estejamos considerando, bastando apenas serem consecutivas.
c) o limite da soma das áreas de todos os círculos, quando o número deles cresce infinitamente:
Examinando a primeira tabela, observamos que as áreas dos círculos formam uma seqüência:
que é uma Progressão Geométrica de razão
A soma dos infinitos termos dessa P.G. é dada por:
d) o limite da soma das áreas de todos os
quadrados, quando o número deles cresce infinitamente:
Examinando a segunda tabela, observamos que as áreas dos quadrados formam uma seqüência:
que é uma Progressão Geométrica de razão
A soma dos infinitos termos dessa P.G. é dada por:
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