Determine a soma dos quadrados dos n primeiros inteiros positivos, ou seja, calcule
12 + 22 + 32 + ... +n2.
Solução:
Considere a identidade
(n + 1)3 = n3 + 3.n2 + 3.n + 1
já nossa velha conhecida, obtida da fórmula do cubo de uma soma
(
a +b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, fazendo a = n e b = 1.Vamos fazer sucessivamente, n = 0, 1, 2, ...,n na identidade acima:
n = 0: (0+1)3 = 13 = 03 + 3.02 + 3.0 + 1
n = 1: (1+1)3
= 23 = 13 + 3.12 + 3.1 + 1
n = 2: (2+1)3 = 33 = 23 + 3.22 + 3.2 + 1
n = 3: (3+1)3 = 43 = 33 + 3.32 + 3.3 + 1
n = 4: (4+1)3 = 53 =
43 + 3.42 + 3.4 + 1
........................................................................
........................................................................
........................................................................
n = n: (n+1)3 = (n+1)3 = n3 + 3.n2 + 3.n + 1
Somando membro a membro as (n + 1) igualdades acima, vem:
13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n+1)3 =
13 + 23 + 33 + ... + n3 + 3(12+22+32+...+n2) + 3(1+2+3+...+n) + (n+1).
Nota: Observe que o número 1 aparece (n+1) vezes, daí, (n+1).1 = (n+1).
Simplificando a expressão acima, observando que os termos de expoente 3 cancelam-se mutuamente, fica:
(n + 1)3 = 3(12+22+32+...+n2) + 3(1+2+3+...+n) + (n+1).
Ora, a soma 12 + 22 + 32 + ... +n2 é justamente o que estamos procurando.
Vamos chama-la de S.
A soma 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n é exatamente a soma dos n primeiros números naturais, os quais formam uma Progressão Aritmética - PA de primeiro termo 1, último termo igual a n e número de termos igual também a n. Como já vimos no capítulo PA, tal soma é dada por:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n+1)/2
Substituindo, fica:
(n + 1)3 = 3.S + 3.n(n+1)/2 + n+1.
Isolando o termo 3S, vem:
3S = (n+1)3 – (n+1) – 3n(n+1)/2
Multiplicando ambos os membros por 2, vem:
6S = 2(n+1)3 – 2(n+1) – 3n(n+1)
Colocando n+1 em evidencia no segundo membro, fica:
6S = (n+1)[2(n+1)2 – 2 – 3n]
Efetuando as operações indicadas no segundo membro, vem:
6S =
(n+1)[2(n2+2n+1) – 2 – 3n]
6S = (n+1)(2n2 + 4n + 2 – 2 – 3n)
6S = (n+1)(2n2 + n)
6S = (n+1).n.(2n +1)
Finalmente, fica:
A fórmula acima, permite o cálculo da soma dos quadrados dos n primeiros números naturais positivos, ou seja 12+22+...+n2.
Como a soma S acima é sempre um número inteiro, podemos concluir da expressão acima, que o produto n(n+1)(2n+1), sendo n um número natural, é um número divisível por 6.
Como n(n+1)(2n+1) = (n2+n)(2n+1) = 2n3 + 3n2 + n, podemos dizer de uma forma genérica que o valor numérico do trinômio 2n3 + 3n2 + n será sempre um número divisível por 6, para todo número natural n.
Exemplo:
Qual a soma dos quadrados dos 20 primeiros números naturais positivos?
Teremos, fazendo n = 20 na fórmula anterior:
Paulo Marques, 12 de Novembro de 2000 - Feira de Santana - BA. Revisado e ampliado em 25/12/2004.
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Questão 5
(IBMEC-04) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:
a) a diferença dos quadrados dos dois números.
b) a soma dos quadrados dos dois números.
c) a diferença dos dois números.
d) ao dobro do produto dos números.
e) ao quádruplo do produto dos números.
Respostas
Resposta Questão 1
Podemos resolver esses produtos notáveis através da seguinte ideia:
“O primeiro termo elevado ao quadrado mais (ou menos) o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”
a) (x + y)2 = x2 + 2.x.y + y2
b) (2a + b)2 = (2a)2 + 2.2a.b + b2 = 4a2 + 4ab + b2
c) (x – 5y)2 = x2 – 2.x.5y + (5y)2 = x2 – 10xy + 25y2
d) (3 – a3)2 = 32 – 2.3.a3 + (a3)2 = 9 – 6a3 + a6
Resposta Questão 2
Utilizando o princípiodo quadrado da soma, temos que:
(x + y)² = x² + 2.x.y + y²
Podemos reescrever essa igualdade da seguinte forma:
(x + y)² = x² + y² + 2.x.y
Sabemos que x² + y² = 20 e xy = 3, substituindo esses valores na igualdade acima, temos:
(x + y)² = 20 + 2.3
(x + y)² = 20 + 6
(x + y)² = 26
Portanto, (x + y)² = 26.
Resposta Questão 3
a) (3m + n)² + 2n²
Desenvolvendo o produto notável, temos:
(3m + n)² + 2n²
(3m)² + 2.3m.n + n² + 2n²
9m² + 6mn + n² + 2n²
9m² + 6mn + 3n²
Portanto, (3m + n)² + 2n² = 9m² + 6mn + 3n²
b) (2a + 2b)² – a.(a – 2b)
Desenvolvendo o produto notável e aplicando a propriedade distributiva, temos:
(2a +
2b)² – a.(a – 2b)
(2a)² + 2.2a.2b + (2b)² – a² + 2ab
4a² + 8ab + 4b² – a² + 2ab
3a² + 10ab + 4b²
Portanto, (2a + 2b)² – a.(a – 2b) = 3a² + 10ab + 4b²
Resposta Questão 4
A fim de fazer aparecer
Aplicando a propriedade do quadrado da soma, temos:
b² = x² + 2.x. 1 + 1²
x x²
b² = x² + 2 + 1
x²
b² – 2 = x² + 1
x²
Portanto:
x² + 1 = b² – 2
x²
Resposta Questão 5
Para resolver o exercício, vamos considerar x e y como reais. O quadrado da soma de x e y é representado por (x + y)2e o quadrado da diferença é representado por (x – y)2. A diferença entre eles pode ser feita da seguinte forma:
(x + y)2 – (x – y)2
Desenvolvendo o quadrado da soma e da diferença através das propriedades de produtos notáveis, teremos:
x2 + 2xy + y2 – (x2 – 2xy + y2)
x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2
2xy + 2xy
4xy
A alternativa correta é a (e), pois, desenvolvendo a diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números x e y, obtivemos 4xy, isto é, o quádruplo do produto dos números.
Resposta Questão 6
a) o produto dos dois números
Se x e y são números positivos, a soma de seus quadrados é 4:
x² + y² = 4
A soma dos inversos de seus quadrados é 1:
1 +
1 = 1
x² y²
Tirando o mínimo múltiplo comum do primeiro membro da equação, teremos:
y² + x² = 1
x².y²
Passando o x2.y2 para o segundo membro da equação, teremos:
y² + x² = x².y²
Que é o mesmo que escrevermos:
(x.y)² = y² + x²
Mas x² + y² = 4, então:
(x.y)² = 4
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da equação, teremos:
√(x.y)² = √4
x.y = 2
Portanto, o produto de x e y é 2.
b) a soma dos dois números
Chamemos de n a soma de x e y, isto é:
n = x + y
Se elevarmos ao quadrado ambos os lados da equação, teremos:
n² = (x + y)²
Aplicando a propriedade do quadrado da soma no segundo lado da igualdade, teremos:
n² = x² + 2xy + y²
Podemos organizar o segundo membro da equação convenientemente da seguinte forma:
n² = 2xy + (x² + y²)
Não conhecemos o valor de x e de y, mas sabemos que x.y = 2 e x2 + y2 = 4, portanto:
n² = 2.2 + (4)
n² = 4 + 4
n² = 8
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da equação, teremos:
√n² = √8
n = 2√2
A soma dos dois números é 2√2.