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agora, tendo 51 cartas para escolher, temos 47 possibilidades para a segunda carta não ser um rei. 12x47 = 564 Total: 48 + 564 = 612 Resposta: 612 8)O conjunto A possui 4 elementos, e o conjunto B, 7. Quantas funções f:A -->B existem? Quantas delas são injetivas? Resolução: a)Devemos, para cada elemento de A, escolher sua imagem em B. Há 7 modos de escolher a imagem do primeiro elemento de A, 7 modos de escolher a imagem do segundo elemento, etc. A resposta é; 7x7x7x7 = 2 401 b)Agora, elementos diferentes devem ter imagens diferentes. Há 7 modos de escolher a imagem do primeiro elemento de A, 6 modos de escolher a imagem do segundo elemento, etc. A resposta é: 7x6x5x4 = 840 R: 2401 e 840 9)Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemos colorir os quatro quadrantes de um círculo, cada quadrante com uma só cor, se quadrantes cuja fronteira é uma linha não puderem receber a mesma cor? Resolução: [Aqui, consideremos o primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes como no plano cartesiano, ou seja, contando o primeiro como o dos pontos de coordenadas positivas e girando no sentido anti-horário.] A princípio, para o primeiro quadrante temos 5 possibilidades, para o segundo quadrante temos 4 possibilidades [não pode ser igual ao primeiro], para o terceiro quadrante 4 possibilidades [não pode ser igual ao segundo]. E para o quarto quadrante? Isso depende. Se o primeiro quadrante tiver a mesma cor que o terceiro, temos que excluir uma possibilidade. Já, se o terceiro quadrante tiver uma cor diferente do primeiro, temos que excluir duas possibilidades. Temos que dividir então em dois casos: O primeiro quadrante com a cor igual à do terceiro: Para o primeiro quadrante: 5 possibilidades. Para o segundo quadrante: 4 possibilidades [diferente do primeiro]. Para o terceiro quadrante: 1 possibilidade [igual à do primeiro]. Para o quarto quadrante: 4 possibilidades [pois como o primeiro é igual ao terceiro, temos que excluir apenas uma possibilidade]. Total neste caso: 5x4x1x4 = 80 O primeiro quadrante com a cor diferente à do terceiro: Para o primeiro quadrante: 5 possibilidades. Para o segundo quadrante: 4 possibilidades [diferente do primeiro]. Para o terceiro quadrante: 3 possibilidades [diferente do segundo E DO PRIMEIRO]. Para o quarto quadrante: 3 possibilidades [diferente do primeiro e do terceiro]. Total neste caso; 5x4x3x3 = 180 Como ocorre um caso OU o outro, temos; 180 + 80 = 260. R: 260 10)De quantos modos podemos formar uma palavra de 5 letras de um alfabeto de 26, se a letra A deve figurar na palavra mas não pode ser a primeira letra? E se a palavra devesse ter letras distintas? a)Há 26x26x26x26x26 = 11881376 palavras de 5 letras. Delas devemos subtrair as palavras que começam por A, 1x26x26x26x26 = 456976, e aquelas nas quais a letra A não figura, 25x25x25x25x25 = 9765625. A resposta é 11881376 - 456976 - 9765625 = 1658775. b)Há 4 posições para colocar a letra A; depois disso, as quatro casas vazias podem ser preenchidas de 25,24,23 e 22 modos. A resposta é 4x25x24x23x22 = 1214400 Matemática para o ENEM Prof. Rômulo Garcia //www.facebook.com/matematica.enem 4 R: 1658775 e 1214400 11)As placas de veículos são formadas por três letras (de um alfabeto de 26) seguidas por 4 algarismos. Quantas placas diferentes podem ser formadas? Resolução: Temos que escolher 3 letras, cada uma pode ser escolhida de 26 maneiras. Temos que escolher 4 números, cada um pode ser escolhido de 10 maneiras. Logo: 26x26x26x10x10x10x10 = 175760000 R: 175760000 12)Um vagão de metrô em 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de cosas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm referência. De quantos modos eles podem se sentar, respeitadas as preferências? Resolução: O número de modos de acomodar os passageiros que pretendem sentar de frente é 5x4x3x2 = 120; o número de modos de acomodar os passageiros que pretendem sentar de costas é 5x4x3 = 60; o número de modos de acomodar os demais passageiros é 3x2x1 = 6. A resposta é 120x60x6 = 43200 R: 43200 13)Quantos são os inteiros positivos de 4 dígitos nos quais o algarismo 5 figura? Resolução: O número de inteiros positivos de 4 dígitos é 9x10x10x10 = 9000; dessa quantidade devemos tirar aqueles em que o 5 NÃO figura, que são 8x9x9x9 = 5832. Fica então: 9000 - 5832 = 3168 R: 3168 14)Em uma banca há 5 exemplares iguais da Veja, 6 exemplares iguais da Época e 4 exemplares iguais da Isto É. Quantas coleções não-vazias de revistas dessa banca podem ser formadas? Resolução: Devemos decidir quantos exemplares de cada revista devem ser postos na coleção. Há 6 possibilidades para a revista Veja (0,1,2,3,4 ou 5 exemplares), 7 para a revista Época e 5 para a revista Isto É. O número de coleções é 6x7x5 = 210. Daí, como apenas uma coleção é vazia, o total de coleções NÃO VAZIAS é 209 = 210-1. R: 209 15)Uma turma tem aulas às segundas, quartas e sextas, das 13h às 14h e das 14h às 15h. As disciplinas são Matemática, Física e Química, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? Resolução: Para a primeira disciplina, temos 6 possibilidades de escolha de primeiro horário; tendo escolhido o primeiro horário, temos 4 possibilidades de escolha para o segundo horário [pois não podemos escolher o outro horário do mesmo dia]. Como a ordem da escolha dos horários não importa, dividimos por 2, então temos: Primeira disciplina: (6x4)/2 = 24/2 = 12 Para a segunda disciplina, sobrou um dia com dois tempos e dois dias com um tempo cada um. Porém, não podemos escolher os dois dias com um tempo cada um, pois senão para a terceira disciplina, sobraria apenas um dia para escolher. Então, necessariamente, temos que escolher um dos dois tempos do dia com dois tempos. Como a ordem da escolha não importa, dividimos por 2. Temos então: Segunda disciplina: (4x2)/2 = 4 Como já escolhemos todos os horários para as disciplinas anteriores, sobrou apenas dois tempos em dias distintos para a terceira disciplina, ficamos então com: Terceira disciplina: 1 possibilidade total: 12x4x1 = 48 possibilidades. R: 48 16)Quantos são os anagramas da palavra "capítulo": a)possíveis? Resolução: Como todas as letras são distintas, temos: 8! = 40320 anagramas. b)que começam e terminam por vogal? Resolução: Para a primeira posição temos disponíveis 4 vogais, temos então 4 possibilidades. Tendo escolhida a primeira letra, para a última letra, como ela deve ser vogal também, temos 3 vogais disponíveis. Para as letras restantes vamos ter 6! formas Matemática para o ENEM Prof. Rômulo Garcia //www.facebook.com/matematica.enem 5 de permutá-las entre a primeira vogal e a última vogal. Logo a resposta fica: 4x6!x3 = 8640 c)que têm as vogais e as consoantes intercaladas? Resolução: A palavra tem 4 vogais e 4 consoantes, portanto será possível promover a intercalação. Podemos começando por vogal, temos; 4 possibilidades para a primeira letra. [tem que ser vogal] 4 possibilidades para a segunda letra.[tem que ser consoante] 3 possibilidades para a terceira letra. [tem que ser vogal e já usamos uma vogal] 3 possibilidades para a quarta letra. [tem que ser consoante e já usamos uma consoante] 2 possibilidades para a quinta letra. 2 possibilidades para a sexta letra. 1 possibilidade para a sétima letra. 1 possibilidade para a oitava letra. Portanto, começando por vogal temos: 4x4x3x3x2x2x1x1 = 576 Começando por consoante,
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