A análise combinatória apresenta métodos que nos permitem contar de forma indireta o número de agrupamentos que podemos fazer com os elementos de um ou mais conjuntos, levando em conta determinadas condições. Show
Em muitos exercícios desse assunto, podemos utilizar tanto o princípio fundamental da contagem, como também as fórmulas de arranjo, permutação e combinação. Questão 1Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9? a) 1 498 senhas Ver Resposta Resposta correta: c) 3 024 senhas. Esse exercício pode ser feito tanto com a fórmula, quanto usando a princípio fundamental da contagem. 1ª maneira: usando o princípio fundamental da contagem. Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que irão compor a senha, então teremos a seguinte situação:
Assim, o número de senhas será dado por: 9.8.7.6 = 3 024 senhas 2ª maneira: usando a fórmula Para identificar qual fórmula usar, devemos perceber que a ordem dos algarismos é importante. Por exemplo 1234 é diferente de 4321, assim iremos usar a fórmula de arranjo. Então, temos 9 elementos para serem agrupados de 4 a 4. Desta maneira, o cálculo será: Questão 2Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 15 jogadores que podem jogar em qualquer posição. De quantas maneiras ele poderá escalar seu time de 6 jogadores? a) 4 450 maneiras Ver Resposta Resposta correta: d) 5 005 maneiras. Nesta situação, devemos perceber que a ordem dos jogadores não faz diferença. Assim, usaremos a fórmula de combinação. Como uma equipe de voleibol compete com 6 jogadores, iremos combinar 6 elementos tirados de um conjunto de 15 elementos. Questão 3De quantas maneiras diferentes, uma pessoa pode se vestir tendo 6 camisas e 4 calças? a) 10 maneiras Ver Resposta Resposta correta: b) 24 maneiras diferentes. Para solucionar esta questão, devemos utilizar o princípio fundamental da contagem e multiplicar o número de opções entre as escolhas apresentadas. Temos: 6.4 = 24 maneiras diferentes. Portanto, com 6 camisas e 4 calças uma pessoa pode se vestir de 24 maneiras diferentes. Veja também: Princípio Fundamental da Contagem Questão 4De quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto? a) 610 maneiras Ver Resposta Resposta correta: c) 720 maneiras. Podemos usar a fórmula de permutação, pois todos os elementos farão parte da foto. Note que a ordem que faz diferença. Como o número de elementos é igual ao número de ajuntamentos, então existem 720 maneiras de 6 amigos sentarem para tirar uma foto. Questão 5Em uma competição de xadrez existem 8 jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)? a) 336 formas Ver Resposta Resposta correta: a) 336 formas diferentes. Como a ordem faz diferença, usaremos arranjo. Assim: Substituindo os dados do enunciado na fórmula, temos: Portanto, é possível formar o pódio de 336 formas diferentes. Questão 6Uma lanchonete tem uma promoção de combo com preço reduzido em que o cliente pode escolher 4 tipos diferentes de sanduíches, 3 tipos de bebida e 2 tipos de sobremesa. Quantos combos diferentes os clientes podem montar? a) 30 combos Ver Resposta Resposta correta: d) 24 combos diferentes. Usando o princípio fundamental da contagem, multiplicamos o número de opções entre as escolhas apresentadas. Assim: 4.3.2 = 24 combos diferentes Portanto, os clientes podem montar 24 combos diferentes. Questão 7Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos de uma turma? a) 4 845 comissões Ver Resposta Resposta correta: a) 4 845 comissões. Note que como para uma comissão a ordem não faz diferença, usaremos a fórmula de combinação para calcular: Questão 8Determine o número de anagramas: a) Existentes na palavra FUNÇÃO. Ver Resposta Resposta correta: 720 anagramas. Cada anagrama consiste na reorganização das letras que compõem uma palavra. No caso da palavra FUNÇÃO temos 6 letras que podem ter suas posições modificadas. Para encontrar o número de anagramas basta calcular: b) Existentes na palavra FUNÇÃO que iniciam com F e terminam com O. Ver Resposta Resposta correta: 24 anagramas. F — — — — O Deixando fixas as letras F e O na palavra função, estando no início e final, respectivamente, podemos permutar as 4 letras não fixas e, portanto, calcular P4: Sendo assim, existem 24 anagramas da palavra FUNÇÃO iniciados com F e terminados em O. c) Existentes na palavra FUNÇÃO desde que as vogais A e O apareçam juntas nessa ordem (ÃO). Ver Resposta Resposta correta: 120 anagramas. Se as letras A e O devem aparecer juntas como ÃO, então podemos interpretá-las como se fosse uma só letra: FUNÇ ÃO; assim, temos que calcular P5: Desta forma, existem 120 possibilidade de escrever a palavra com ÃO. Questão 9A família de Carlos é formada por 5 pessoas: ele, sua esposa Ana e mais 3 filhos, que são Carla, Vanessa e Tiago. Eles desejam tirar uma foto da família para enviar como presente ao avô materno das crianças. Determine o número de possibilidades de os membros da família poderem se organizar para tirar a foto e de quantas formas possíveis Carlos e Ana podem ficar lado a lado. Ver Resposta Resposta correta: 120 possibilidades de foto e 48 possibilidades de Carlos e Ana estarem lado a lado. Primeira parte: número de possibilidades dos membros da família se organizarem para tirar a foto Cada forma de dispor as 5 pessoas lado a lado corresponde a uma permutação dessas 5 pessoas, uma vez que a sequência é formada por todos os membros da família. O número de posições possíveis é: Portanto, há 120 possibilidades de foto com os 5 membros da família. Segunda parte: formas possíveis de Carlos e Ana ficarem lado a lado Para que Carlos e Ana apareçam juntos (lado a lado), podemos considerá-los como uma única pessoa que irá permutar com as outras três, num total de 24 possibilidades. Porém, para cada uma dessas 24 possibilidades, Carlos e Ana podem trocar de lugar entre si, de 2 maneiras distintas. Assim, o cálculo para encontrar o resultado é: . Sendo assim, existem 48 possibilidades de Carlos e Ana tirarem a foto lado a lado. Questão 10Uma equipe de trabalho é formada por 6 mulheres e 5 homens. Eles pretendem se organizar em grupo de 6 pessoas, com 4 mulheres e 2 homens, para compor uma comissão. Quantas comissões podem ser formadas? a) 100 comissões Ver Resposta Resposta correta: d) 150 comissões. Para formar a comissão deve-se escolher 4 das 6 mulheres () e 2 dos 5 homens (). Pelo princípio fundamental da contagem multiplicamos estes números: Assim, podem ser formadas 150 comissões com 6 pessoas e com, exatamente, 4 mulheres e 2 homens. Questões do EnemQuestão 11(Enem/2016) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição? Ver Resposta Alternativa correta: a) Segundo o enunciado, temos os seguintes dados necessários para resolver a questão:
Podemos montar as combinações assim: Dos 10 tenistas, 2 deverão ser escolhidos. Portanto: Deste resultado devemos levar em consideração que dos 4 tenistas canhotos, 2 não poderão ser escolhidos simultaneamente para partida. Sendo assim, subtraindo do total de combinações as possíveis combinações com 2 canhotos, temos que o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição é: Questão 12(Enem/2016) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por Ver Resposta Alternativa correta: e) De acordo com o enunciado, temos os seguintes dados necessários para resolver a questão:
Uma maneira de interpretar as sentenças anteriores seria: Posição 1: 10 opções de algarismos Posição 2: 10 opções de algarismos Posição 3: 52 opções de letras Posição 4: 52 opções de letras Além disso, precisamos levar em consideração que letras e algarismos podem estar em qualquer uma das 4 posições e pode haver repetição, ou seja, escolher 2 algarismos iguais e duas letras iguais. Portanto, Questão 13(Enem/2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. Ver Resposta Alternativa correta: a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. De acordo com o enunciado, existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos. Para resolver a questão devemos utilizar o princípio fundamental da contagem, pois o evento é composto por n etapas sucessivas e independentes. Portanto, devemos multiplicar as opções para encontrar o número de escolhas. Sendo assim, há 270 possibilidades de um personagem escolher um objeto e esconder em um cômodo da casa. Como a resposta de cada aluno deve ser diferente dos demais, sabe-se que um dos alunos acertou, pois o número de alunos (280) é maior que o número de possibilidades (270), ou seja, há 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. Questão 14(Enem/2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções. A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes. A opção que mais se adequa às condições da empresa é a) I. Ver Resposta Alternativa correta: e) V. Sabendo que existem 26 letras capazes de preencher L e 10 algarismos disponíveis para preencher D, temos: Opção I: L . D5 26 . 105 = 2 600 000 Opção II: D6 106 = 1 000 000 Opção III: L2 . D4 262 . 104 = 6 760 600 Opção IV: D5 105 = 100 000 Opção V: L3 . D2 263 . 102 = 1 757 600 Entre as opções, a empresa pretende escolher a que satisfaça os seguintes critérios:
Portanto, a opção que mais se adequa às condições da empresa é a quinta opção, pois 1 000 000 < 1 757 600 < 2 000 000. Questão 15(Enem/2014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática? a) b) c) d) e) Ver Resposta Alternativa correta: b) . De acordo com o enunciado, temos as seguintes informações:
Sendo assim, há a possibilidade de locar os 8 filmes de ação, o que pode ser representado por Para locar os filmes de comédia primeiro, há 5 disponíveis e, portanto, . Em seguida, ele poderá alugar os 3 de drama, ou seja, . Logo, a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática com 8!.5!.3! formas distintas. Para saber mais, leia também:
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar utilizando os algarismos 0 1 2 3 4 é 5?Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 quantos números de 3 algarismos podemos formar? 210 números.
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar 0 1 2 3 4 5 6 8?Temos 120 possibilidades com o zero no último algarismo. Temos 300 possibilidades com os outros 3 números pares na última posição. Resposta: 420 possibilidades.
Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0 1 2 3 é 4?Temos 100 maneiras de escrever um número com 3 algarismos distintos utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 1 2 3 4 5 é 7?Depende: Se for de 3 algarismos distintos basta multiplicar a probabilidade de cada um ocorrer, então basta fazer 7 x 6 x 5 = 210 números.
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Quantos números distintos de 3 algarismos diferentes posso formar com os algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9?
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