Sorteando se um número de 1 a 20 a probabilidade de que ele seja par ou múltiplo de 3 é igual a

Espaço amostral: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)

a) No espaço amostral de 15 números, temos 7 números pares.
P = 7/15 = 0,466 = 46,6%

b) Temos 6 números primos dentre o espaço amostral de 15 números.
P = 6/15 = 0,4 = 40%

c)
Número par = 7 possibilidades entre 15
Número primo = 6 possibilidades entre 15
Par ∩ primo = 1

P(par) + P(primo) – P (par ∩ primo)

d) Dentro do intervalo dado, temos um único número que satisfaz a condição de ser par e primo ao mesmo tempo, que é o número 2. Portanto, temos a seguinte probabilidade:

Teste seus conhecimentos sobre probabilidade com questões divididas por nível de dificuldade, que são úteis para o ensino fundamental e médio.

Aproveite as resoluções comentadas dos exercícios para tirar suas dúvidas.

Questões nível fácil

Questão 1

Ao jogar um dado, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar voltado para cima?

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Resposta correta: 0,5 ou 50% de chances.

Um dado possui seis lados, logo, a quantidade de números que podem ficar voltados para cima é 6.

Há três possibilidades de termos um número ímpar: caso ocorra o número 1, 3 ou 5. Sendo assim, o número de casos favoráveis é igual a 3.

Calculamos então a probabilidade utilizando a seguinte fórmula:

Substituindo os números na fórmula acima, encontramos o resultado.

As chances de ocorrer um número ímpar são 3 em 6, que corresponde a 0,5 ou 50%.

Questão 2

Se lançarmos dois dados ao mesmo tempo, qual a probabilidade de dois números iguais ficarem voltados para cima?

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Resposta correta: 0,1666 ou 16,66%.

1º passo: determinar o número de eventos possíveis.

Como são dois dados jogados, cada face de um dos dados tem a possibilidade de ter um dos seis lados do outro dado como par, ou seja, cada dado tem 6 combinações possíveis para cada um de seus 6 lados.

Sendo assim, o número de eventos possíveis é:

U = 6 x 6 = 36 possibilidades

2º passo: determinar o número de eventos favoráveis.

Se os dados possuem 6 lados com números de 1 a 6, logo, o número de possibilidades do evento é 6.

Evento A =

3º passo: aplicar os valores na fórmula de probabilidade.

Para termos o resultado em porcentagem basta apenas multiplicar o resultado por 100. Logo, a probabilidade de se obter dois números iguais voltados para cima é de 16,66%.

Questão 3

Um saco contém 8 bolas idênticas, mas com cores diferentes: três bolas azuis, quatro vermelhas e uma amarela. Retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola retirada ser azul?

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Resposta correta: 0,375 ou 37,5%.

A probabilidade é dada pela razão entre o número de possibilidades e de eventos favoráveis.

Se existem 8 bolas idênticas, esse é o número de possibilidades que vamos ter. Mas apenas 3 delas são azuis e, por isso, a chance de retirar uma bola azul é dada por.

Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 37,5%.

Questão 4

Qual a probabilidade de tirar um ás ao retirar ao acaso uma carta de um baralho com 52 cartas, que possui quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 1 ás em cada naipe?

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Resposta correta: 7,7%

O evento de interesse é tirar um ás do baralho. Se há quatro naipes e cada naipe possui um ás, logo, o número de possibilidades de retirar um ás é igual a 4.

O número de casos possíveis corresponde ao número total de cartas, que é 52.

Substituindo na fórmula de probabilidade, temos:

Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 7,7%.

Questão 5

Sorteando-se um número de 1 a 20, qual a probabilidade de que esse número seja múltiplo de 2?

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Resposta correta: 0,5 ou 50%.

A quantidade de número total que podem ser sorteados é 20.

A quantidade de números múltiplos de dois são:

A =

Substituindo os valores na fórmula de probabilidade, temos:

Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de sortear um número múltiplo de 2 é de 50%.

Para mais questões, veja também: Exercícios de Probabilidade (fáceis)

Questões nível médio

Questão 6

Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?

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Resposta correta: 0,3125 ou 31,25%.

1º passo: determinar o número de possibilidades.

Há duas possibilidades existentes ao lançar uma moeda: cara ou coroa. Se há duas possibilidades de resultado e a moeda é lançada 5 vezes, o espaço amostral é:

2º passo: determinar o número de possibilidades de ocorrer o evento de interesse.

O evento coroa será chamado de O e o evento cara de C para facilitar a compreensão.

O evento de interesse é apenas cara (C) e em 5 lançamentos, as possibilidades de combinações para que o evento ocorra são:

1. CCCOO
2. OOCCC
3. CCOOC
4. COOCC
5. CCOCO
6. COCOC
7. OCCOC
8. OCOCC
9. OCCCO
10. COCCO

Sendo assim, existem 10 possibilidades de resultados com 3 caras.

3º passo: determinar a probabilidade de ocorrência.

Substituindo os valores na fórmula, temos que:

Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de "sair" cara 3 vezes é de 31,25%.

Veja também: Probabilidade Condicional

Questão 7

Em uma experiência aleatória foi lançado duas vezes um dado. Considerando que o dado é equilibrado, qual a probabilidade de:

a) A probabilidade de conseguir no primeiro lançamento o número 5 e no segundo o número 4.
b) A probabilidade de obter em pelo menos um dos lançamentos o número 5.
c) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual a 5.
d) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual ou menor que 3.

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Respostas corretas: a) 1/36, b) 11/36, c) 1/9 e d) 1/12.

Para resolver o exercício devemos considerar que a probabilidade da ocorrência de um determinado evento, é dada por:

Na tabela 1 indicamos os pares resultantes dos lançamentos consecutivos do dado. Note que temos 36 casos possíveis.

Tabela 1:

a) Na tabela 1 observamos que existe apenas 1 resultado que cumpre a condição indicada (5,4). Assim, temos que em um total de 36 casos possíveis, apenas 1 é um caso favorável.

b) Os pares que atendem a condição de pelo menos um número 5 são: (1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(6,5). Assim, temos 11 casos favoráveis.

c) Na tabela 2 representamos a soma dos valores encontrados.

Tabela 2:

Observando os valores da soma na tabela 2 vemos que temos 4 casos favoráveis da soma ser igual a 5. Assim a probabilidade será dada por:

d) Usando ainda a tabela 2 observamos que temos 3 casos em que a soma é igual ou menor que 3. A probabilidade neste caso será dada por:

Veja também: Probabilidade

Questão 8

Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?

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Resposta correta: 7,8%.

Para encontrar o resultado podemos usar o método binomial, visto que cada lançamento do dado é um evento independente.
No método binomial, a probabilidade de um evento acontecer em k das n vezes é dado por:

onde:

n: número de vezes que ocorrerá a experiência
k: número de vezes de acontecer um evento
p: probabilidade do evento acontecer
q: probabilidade do evento não acontecer

Vamos agora substituir os valores para a situação indicada.
Para ocorrer 3 vezes o número 5 temos:

n = 7
k = 3
(em cada jogada temos 1 caso favorável entre 6 possíveis)

Substituindo os dados na fórmula:

Logo, a probabilidade de jogar o dado 7 vezes e sair 3 vezes o número 5 é de 7,8%.

Questão 9

Um casal planeja ter cinco filhos e deseja saber a probabilidade de serem 3 meninos e 2 meninas. Calcule esta probabilidade.

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Resposta: 31,25%

A probabilidade do evento A nascer menina é: P(A) = 1/2
A probabilidade do evento B nascer menino é: P(B) = 1/2

A ocorrência destes eventos é independente e uma das possibilidades seria:

A . A . B . B . B

Desta forma, em probabilidades

Ainda, é preciso verificar que os eventos podem ocorrer em diversas ordens. Para resolver calculamos uma permutação de 5 elementos, com 2 repetições de A e 3 repetições de B.

Repare que este é o mesmo resultado de realizarmos uma combinação:

A probabilidade final será calculada como:

Questão 10

Uma pesquisa realizada com 800 pessoas sobre a preferência pelos telejornais de uma cidade, evidenciou que 200 entrevistados assistem o apenas o telejornal A, 250 apenas o telejornal B e 50 assistem A e B. Das pessoas entrevistadas, qual a probabilidade de sortear ao acaso uma pessoa que assiste o telejornal A ou o telejornal B?

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Resposta: 62,5%

Seja o evento A, sortear uma pessoa que assiste o telejornal A,

O evento B, sortear uma pessoa que assiste B,

A interseção são as pessoas que assistem os dois telejornais, 50 pessoas.

Desta forma, temos que

A probabilidade de sortear alguém que assista A ou O é de 62,5%.

Veja também: Análise Combinatória

Questões de probabilidade no Enem

Questão 11

(Enem/2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.

O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.

As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:

a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas

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Alternativa correta: a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

1º passo: determinar o número total de possibilidades utilizando o princípio multiplicativo.

2º passo: interpretar o resultado.

Se cada aluno deve ter uma resposta e foram selecionados 280 alunos, entende-se que o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 10 alunos a mais do que a quantidade de respostas possíveis.

Questão 12

(Enem/2012) Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.

Uma jogada consiste em:

• 1.º: o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2
• 2.º: ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão
• 3.º: em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2
• 4.º: se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo

Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?

a) Azul
b) Amarela
c) Branca
d) Verde
e) Vermelha

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Alternativa correta: e) Vermelha.

Analisando os dados da questão, temos:

• Como a urna 2 não tinha nenhuma bola amarela, se ele pegar uma amarela da urna 1 e colocar na urna 2, o máximo que terá de bolas amarelas é 1.
• Como tinha apenas uma bola azul na urna 2, se ele pegar mais uma bola azul, o máximo que terá de bolas azuis na urna é 2.
• Como tinha duas bolas brancas na urna 2, se ele adicionar mais uma dessa cor, o máximo de bolas brancas na urna será 3.
• Como já tinha 3 bolas verdes na urna 2, se ele pegar mais uma dessa cor, o máximo de bolas vermelhas na urna será 4.
• Já há quatro bolas vermelhas na urna 2 e nenhuma na urna 1. Logo, esse é o maior número de bolas dessa cor.

Pela análise de cada uma das cores, vimos que a maior probabilidade é de pegar uma bola vermelha, já que é a cor que está em maior quantidade.

Questão 13

(Enem/2013) Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras: inglês e espanhol.

Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.

Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?

a) 1/2
b) 5/8
c) 1/4
d) 5/6
e) 5/14

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Alternativa correta: a) 1/2.

1º passo: determinar o número de alunos que falam pelo menos uma língua.

2º passo: determinar o número de alunos que falam inglês e espanhol.

3º passo: calcular a probabilidade do aluno falar espanhol e não falar inglês.

Questão 14

(Enem/2013) Considere o seguinte jogo de apostas:

Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6.

O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.

O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.

Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:

• Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos
• Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos
• Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos
• Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos
• Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos

Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:

a) Caio e Eduardo
b) Arthur e Eduardo
c) Bruno e Caio
d) Arthur e Bruno
e) Douglas e Eduardo

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Alternativa correta: a) Caio e Eduardo.

Nessa questão de análise combinatória, devemos utilizar a fórmula de combinação para interpretar os dados.

Como são sorteados apenas 6 números, então o valor de p é 6. O que vai variar para cada apostador é o número de elementos tomados (n).

Multiplicando o número de apostas pela quantidade de combinações, temos:

Arthur: 250 x C(6,6)

Bruno: 41 x C(7,6) + 4 x C(6,6)

Caio: 12 x C(8,6) + 10 x C(6,6)

Douglas: 4 x C(9,6)

Eduardo: 2 x C(10,6)

De acordo com as possibilidades de combinações, Caio e Eduardo são os apostadores com mais chances de serem premiados.

Vídeo sobre Probabilidade

Leia também:

• Exercícios de Análise Combinatória
• Exercícios de Porcentagem
• Raciocínio Lógico - Exercícios
• Princípio Fundamental da Contagem
• Permutação

Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.

Qual a probabilidade de sortear um número par entre 1 a 20?

Qual espaço amostral de 1 a 20?

Qual e a probabilidade de ser sorteado um número par?

Qual e a probabilidade de jogar um dado e obter um número par ou múltiplo de 3?