A proporção consiste na igualdade entre duas ou mais razões, que são a divisão entre números na qual devemos obedecer a ordem em que eles são colocados. Por exemplo, na sequência de Fibonacci, a razão entre qualquer termo e o seu antecessor será sempre proporcional, ou seja, igual. O estudo das proporções é de muita importância, uma vez que, na natureza e em nosso cotidiano, esse conceito aparece frequentemente.
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Razão e proporção
Para melhor entendermos a definição de proporção, antes é necessário saber o que é uma razão. Uma razão nada mais é que o quociente entre os números envolvidos na operação, veja:
Definição de razão
Seja a e b dois números quaisquer, com b ≠ 0, a sua razão é dada pela divisão entre ambos:
Exemplo
Determine as razões entre 2 e 3; 7 e 9; 4 e 18. Para isso, devemos escrever as frações (divisões) entre os números em questão na ordem que foram colocados.
Quando igualamos duas razões, estamos estabelecendo uma proporção.
Definição de proporção
Sejam os números a, b, c e d, com b ≠ 0 e d ≠ 0, a razão entre eles, nessa ordem, forma uma proporção, ou seja:
Se a igualdade for verdadeira, isto é, se a · d = b · c, então os números a, b, c e d são proporcionais.
Exemplo
Verifique se os números a seguir são proporcionais ou não.
a) 2, 4, 8 e 16
Para que esses números sejam proporcionais, as razões entre eles devem ser iguais, vamos verificar.
Veja que, após montar as razões, simplificamos as frações e obtemos duas destas, logo, os números são proporcionais. Outra maneira de verificar se eles são proporcionais é realizando a multiplicação cruzada, veja:
Após a multiplicação cruzada, se a igualdade for verdadeira, os números são proporcionais. Você pode escolher qual método achar melhor para a verificação, no exemplo a seguir, vamos utilizar somente a multiplicação cruzada, veja:
b) 3, 5, 2, 3
Montamos as razões e, em seguida, realizamos a multiplicação cruzada.
Veja que a igualdade não é verdadeira, logo, os números não são proporcionais.
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Diferença entre razão e proporção
Conhecendo as definições de razão e proporção, podemos agora entender a diferença entre elas. A razão é a divisão entre dois números conhecidos, e a proporção é a igualdade entre esses números.
Propriedades da proporção
A proporção possui algumas propriedades que podem facilitar na resolução de alguns problemas, entretanto, as duas primeiras merecem uma atenção especial. Veja, a seguir, quais são.
Propriedade 1 - Considere a proporção:
Então a próxima igualdade é verdadeira:
Propriedade 2 - Também conhecida como propriedade fundamental das proporções.
Para todas as propriedades seguintes, considere a definição de proporção.
Propriedade 3 - A razão entre a e c é igual à razão entre a + c e b + d.
Propriedade 4 - Dada a definição de proporção, então a igualdade seguinte é verdadeira.
Exercícios resolvidos
Questão 1 - (Unicamp - SP) A razão entre a idade de Pedro e a de seu pai é igual a dois nonos. Se a soma das duas idades é igual a 55 anos, então Pedro tem:
a) 12 anos
b) 13 anos
c) 10 anos
d) 15 anos
Solução
Alternativa c.
Como não sabemos as idades de Pedro e de seu pai, vamos chamá-las de x e y, respectivamente.
x → idade de Pedro
y → idade do pai
A razão entre a idade de Pedro e a de seu pai é igual a dois nonos, veja que temos uma igualdade entre razões, logo, uma proporção.
De acordo com o enunciado, temos que a soma das idades é de 55, logo:
x + y = 55
Agora, utilizando a propriedade 4 da proporção, temos:
Questão 2 - Sabe-se que os números 20, 25, x e 2,5 são proporcionais nessa ordem. Determine o valor de x com base nessas informações.
Solução
Como os números são proporcionais em determinada ordem, então temos a seguinte proporção (após montá-la, utilizamos a propriedade 2):