A operação de potenciação com expoente natural pode ser interpretada como uma multiplicação com fatores iguais. Então seja um número real a e um número natural n, tal que n diferente de 0, a potência an é a multiplicação de a por si mesmo n vezes.
Potência
Exemplos:
5 ³ = 5 . 5 . 5 = 125
20 ² = 20 . 20 = 400
(- 4,3)² = (- 4,3) . (- 4,3) = 18,49
A potência com expoente 1 é igual à própria base:
a¹ = a
250 ¹ = 250
(-49 )¹ = -49
A potência que tem como base um número real não nulo e expoente zero é igual a 1:
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a0= 1
10000 = 1
Observe como calcular uma potência com expoente inteiro negativo: Seja um número real a, com a diferente de 0 e um número inteiro n, temos:
Considerando a como número real não nulo e m e n como números inteiros: para multiplicar potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes:
am.an=a(m+n)
52.53=5(2+3)=55
Para dividir potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes:
am : aN=a(m-n)
53 : 52 = 5(3-2) = 51 = 5
Para elevar uma potência a um expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes:
(am)n = a(mn)
[(2)2]3 = (2)(23) = 26
Por Camila Garcia
Graduada em Matemática
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
GARCIA, Camila. "Potências"; Brasil Escola. Disponível em: //brasilescola.uol.com.br/matematica/potencias.htm. Acesso em 12 de dezembro de 2022.
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A Potenciação, ou exponenciação, é um recurso
matemático utilizado para multiplicar vários números iguais, ou seja, quando se deseja multiplicar um fator por ele mesmo. O algarismo a ser multiplicado é chamado de base e a quantidade de vezes é indicada no expoente.
Contudo, existem condições de existência e propriedades para casos específicos!
Neste artigo sobre Potenciação você encontrará:
- O que é potenciação e quais são seus elementos?
- Como se faz a potenciação? Exemplos resolvidos passo a passo!
- Quais são as propriedades da potenciação? Multiplicação, divisão, positivo, negativo, fração e decimal!
- Estudando para as provas? Conheça nosso Simulado gratuito, que pode ser personalizado com as matérias que você mais precisa!
O que é potenciação? Definição matemática e elementos
A potenciação é uma operação matemática utilizada para fazer a multiplicação de números iguais várias vezes, ou seja,
quando queremos fazer multiplicações de um número por ele mesmo.
Sua forma genérica é escrita como “ aⁿ ”. O elemento “a” é chamado de base e é onde escrevemos o número que será multiplicado repetidamente. O elemento “n” é chamado de expoente e nele escrevemos a quantidade de vezes que a base será multiplicada.
- A potenciação também pode ser chamada de exponenciação porque é o princípio básico das funções exponenciais!
Como se faz a potenciação?
Para elevar um número ao outro, basta saber ler a potência, ou seja, identificar os elementos, interpretá-los e armar a operação para ser resolvida com multiplicação simples.
- 3² → Lê-se “três elevado a dois” ou “três elevado à segunda potência”.
O 3 está na base e o 2 no expoente, logo, 3² = 3 x 3 = 9.
- 7³ → Lê-se “sete elevado a três” ou “sete elevado à terceira potência”.
O 7 está na base e o 3 no expoente, logo, 7³ = 7 x 7 x 7 = 343.
Condições de Existência e Regras da Potenciação
Para que seja possível existir a potência, foram definidas algumas regras. Elas não possuem um “modo de resolução”, são ordens que devemos saber de cór. É questão de bater o olho e colocar o resultado:
- Para que uma potência exista, é obrigatório que a base não seja zero → a ≠ 0.
- Sempre que o expoente for 0 (zero), o resultado será 1.
- Sempre que o expoente for 1, o resultado será a própria base.
Volte à imagem já colocada lá em cima para observar os exemplos!
Quais são as propriedades da potenciação?
Além dessas definições que nos dão resultados prontos, existem as propriedades. Elas indicam qual o procedimento que deverá ser feito ao se deparar com potências em certos contextos:
Potência com Base Positiva
As potências só não podem ter base igual a zero, mas se elas forem maiores que zero, está tudo bem! Esse é o caso das bases positivas, também representadas por a > 0. Quando a base for positiva, tudo será resolvido normalmente, como jáfoi ensinado nos tópicos acima.
Independente do expoente ser par ou
ímpar, o resultado de uma potência com base positiva sempre será positivo também.
Exemplos
- 4² = 4 x 4 = 16 → base positiva, expoente par, resultado positivo
- 4³ = 4 x 4 x 4 = 64 → base positiva, expoente ímpar, resultado permanece positivo
Potência com Base Negativa
Se as bases forem menores que zero, está tudo bem também! Esse é o
caso das bases negativas, também representadas por a < 0. Quando a base for negativa, resolvemos normalmente mas sempre mantendo o número da base negativo na sequência multiplicativa.
Ao fazer isso, identificamos o padrão: sempre que uma base negativa tiver um expoente par, o resultado será positivo. Por outro lado, sempre que uma base negativa tiver um expoente ímpar,
o resultado será negativo.
Exemplos
- (– 3)² = – 3 x – 3 = 9 → base negativa, expoente par, resultado positivo
- (– 3)³ = – 3 x – 3 x – 3 = – 27 → base negativa, expoente ímpar, resultado negativo
ATENÇÃO!
Em
uma expressão numérica, o parênteses tem a função de indicar que todo aquele número será utilizado na operação. Além disso, um “sinal de menos” na frente de um número sem parênteses indica que está implícita a multiplicação por “-1”.
Portanto, se aparecer uma mesma potência com e sem parênteses, os resultados podem ser diferentes!
Exemplo:
– 3² e (- 3)².
A primeira potência poderia ser reescrita como -1 x 3² e isso resultaria em -1 x 9 que é = – 9. Já a segunda potência resulta em 9.
Potência com Expoente Positivo ou Negativo
Não existem muitas restrições para os expoentes, devemos lembrar apenas daquelas duas regras sobre quando “n” for 0 ou 1, explicadas nos tópicos acima. Portanto, nos restam os seguintes possíveis
valores:
- Exponentes positivos e diferentes de 1 (n > 0 e n ≠ 1)
Quando nos depararmos com isso, resolvemos normalmente, como já foi ensinado nos tópicos anteriores. Afinal, este caso foi usado em todos os exemplos deste artigo até agora!
- Expoentes negativos (n < 0)
Para resolver potências com expoentes negativos, basta inverter
a base e eliminar o sinal de negativo do expoente, mantendo o número!
Exemplos
Potenciação com Fração na base e/ou no expoente
Sobre a fração, você só precisa saber que:
- Se ela estiver na base
E entre parêntesis, significa que tanto o numerador quanto o denominador estão sob o expoente, individualmente. Assim, resolvemos a conta normalmente.
Volte à imagem do tópico anterior para relembrar como foi feita a resolução do exemplo!
- Se ela estiver no expoente
Devemos transformá-la na raiz correspondente! Não sabe como fazer isso? Confira o exemplo!
ATENÇÃO!
- As alternativas de uma questão podem conter a fração simplificada. Por isso, caso você não ache exatamente como o resultado da conta, lembre-se de simplificar!
- Lembre-se também que se a fração não estiver toda dentro do parêntesis, apenas a parte que contiver o expoente será utilizada na conta!
Potenciação com Decimal na base e/ou no expoente
Já sabemos como lidar com vários expoentes, mas não se esqueça dos valores que estão entre 0 e 1! Eles podem ser representados por (0 < n < 1).
Estamos tratando dos números decimais e pode até parecer loucura misturar com potência, mas fica tranquilo que dá certo!
Para resolver potências cuja base ou expoente contém um número decimal, precisamos transformá-lo em fração! Se você não sabe como converter decimais em
fração, confira nosso artigo!
Depois, seguimos resolvendo com a propriedade das frações!
Multiplicação (produto) de potências de mesma base
Se estivermos em uma expressão numérica com multiplicação das potências de bases iguais, basta manter a base e somar os expoentes!
Exemplo: Resolva a expressão 2² x 2¹.
2² x 2¹ = 2³ (soma-se os expoentes: 2 + 1 = 3)
2³ = 2 x 2 x 2 = 8.
Divisão de potências de mesma base
Se estivermos em uma expressão numérica com divisão entre potências de bases iguais, basta manter a base e subtrair os expoentes!
Exemplo: Resolva a expressão 2² / 2¹.
2² / 2¹ = 2¹ (subtrai-se os expoentes: 2 – 1 = 1)
2¹ = 2.
Potência de Potência
Calma, é mais simples do que parece! se tivermos uma potência elevada a um expoente, teremos uma potência de potência! Para
resolver isso, colocamos a potência entre parênteses e o expoente do lado de fora.
Agora, é só multiplicar um expoente pelo outro! Ao final, mantemos a base e escrevemos o produto como um novo expoente, já tendo eliminado o parêntesis e os expoentes antigos.
ATENÇÃO!
Não confunda potência de potência com um expoente elevado a outro expoente! Os resultados são diferentes e você pode conferir isso nos exemplos abaixo:
Potências grandes e de bases diferentes
Existem alguns casos que poderemos até aplicar as propriedades, mas não será possível desenvolver a potência até chegar a um
resultado final, um número só.
Para auxiliar a resolução de potências grandes ou complicadas, criou-se uma outra ferramenta: o temido logaritmo!
Ele só é temível à primeira vista, pois quando dominamos a sua arte, ele se torna o nosso maior aliado! Confira o nosso artigo para selar essa amizade entre vocês!
- Agora que você já sabe tudo de potenciação, vem conferir os exercícios!
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