Exemplo 6 - Quantas senhas são possíveis formar com 3 algarismos distintos, sendo que o último algarismo é par?
Se os 1º ou 2º algarismo forem par ou ímpar, isto irá afetar o número de possibilidades para o 3º algarismo. Veja os exemplos abaixo:
1º algarismo = 5 (número ímpar)
2º algarismo = 7 (número ímpar)
3º algarismo $\rightarrow$ teremos 5 possibilidades (0,2,4,6 ou 8)
1º algarismo = 4 (número par)
2º algarismo = 7 (número
ímpar)
3º algarismo $\rightarrow$ teremos 4 possibilidades (0,2,6 ou 8)
1º algarismo = 3 (número ímpar)
2º algarismo = 8 (número par)
3º algarismo $\rightarrow$ teremos 4 possibilidades (0,2,4 ou 6)
1º algarismo = 2 (número par)
2º algarismo = 4 (número par)
3º algarismo $\rightarrow$ teremos 3 possibilidades (0, 6 ou 8)
Vamos separar o problema em duas partes para se o 1º algarismo é par ou ímpar, depois, iremos separar cada parte novamente em duas partes para se o 2º algarismo é par ou ímpar:
Caso que o 1º e 2º algarismos são pares:
Passo 1:
Para o 1º algarismo temos $5$ possibilidades (0,2,4,6,8):
$\underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 5 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} $
Passo 2:
Para o 2º algarismo temos 5 possibilidades, menos o algarismo par que já foi escolhido no Passo 1, logo temos $4$ possibilidades:
$\underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 5 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 4 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.8em} \hspace{0.6em}} $
Passo 3:
Para o 3º algarismo temos 5 possibilidades, menos os dois algarismos pares escolhidos nos passos anteriores, logo temos $3$ possibilidades:
$\underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 5 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 4 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} \hspace{0.7em} \underline{\hspace{0.6em} \hspace{0.2em} 3 \hspace{0.2em} \hspace{0.6em}} $
Pelo Princípio Multiplicativo temos $5.4.3 = 60$ possibilidades.
Fazendo os cálculos para cada um dos casos teremos:
Pelo Princípio da Adição, temos: $60 + 100 + 100 + 100 = 360$ senhas.
360 senhas
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R: 120 Questão 29 Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? R: 448 Questão 30 Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? R: 294 Matemática Prof.: Joaqui m Rodrigues 4 TÉCNICAS DE CONTAGEM PERMUTAÇÀO: é o tipo de agrupamento ordenado no qual, em cada grupo, entram todos os elementos. Permutação simples: !nPn = Permutação com repetição: ...!!! !n PR ...,,,n ⋅θ⋅β⋅α =θβα QUESTÕES Questão 01 Calcular 5P . R: 120 Questão 02 Calcular 6P . R: 720 Questão 03 Calcular 4 56 P PP E − = R: 25 Questão 04 Calcular 4 53 P2 PP ⋅ + . R: 8 21 Questão 05 Calcular o valor de 2 46 5 P PP 2PE − ⋅+= . R: 816 Questão 06 Quantos são os anagramas da palavra: a) CAFÉ R: 24 b) AMOR R: 24 c) MOSCA R: 120 Questão 07 Quantos anagramas da palavra EDITORA a) começam com a letra A? R: 720 b) começam com A e terminam com E? R: 120 Questão 08 Quantos anagramas da palavra PERNAM- BUCO: a) terminam com a letra O? R: 362.880 b) começam com a letra P e terminam com a letra O? R: 40.320 c) começam por vogal? R: 1.451.520 d) começam por consoante? R: 2.177.280 e) têm as letras PER juntas nesta ordem? R: 40.320 f) têm as letras BUCO juntas nesta ordem? R: 5.040 g) têm as letras PER juntas em qualquer ordem? R: 241.920 h) têm as letras BUCO juntas em qualquer ordem? R: 120.960 i) têm as vogais juntas e as consoantes jun- tas em qualquer ordem? R: 34.560 Questão 09 Quantos números de 6 algarismos distintos podemos formar com os dígitos 1, 2, 4, 5, 7 e 8? R: 720 Questão 10 Num carro com 5 lugares e mais o lugar do motorista, viajam 6 pessoas, das quais 3 sa- bem dirigir. De quantas maneiras se podem dispor essas pessoas em viagem? R: 360 Questão 11 Permutando os algarismos 2, 4, 6 e 8, for- mamos números. Dispondo esses números em ordem crescente, qual o número que o- cupa a 22ª posição? R: 8.462 Questão 12 Colocando-se em ordem crescente, todos os números de quatro algarismos distintos, ob- tidos com 2, 3, 5 e 7, qual será a posição do número 5.327? R: 15ª Questão 13 Formados e dispostos em ordem crescente todos os números de 4 algarismos distintos, obtidos com os algarismos 1, 3, 5 e 7, que lugar ocupa o número 5.731? R: 18º Questão 14 Quantos são os anagramas da palavra: a) PATA R: 12 b) ARARA R: 10 c) NATÁLIA R: 840 d) ARITMÉTICA R: 453.600 Questão 15 Quantos anagramas da palavra MACACO começam pela letra M? R: 30 Matemática Prof.: Joaqui m Rodrigues 5 ARRANJO: é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Arranjo simples: !)pn( !n A p,n − = QUESTÕES Questão 01 Calcular: a) 2,8A R: 56 b) 310A R: 720 c) 56A R: 1080 Questão 02 Calcular: a) 1 2 2 4 2 3 4 5 AA AA − + R: 5 63 b) 1 2 2 3 2 5 3 4 AA AA + − R: 2 1 c) 45 2 3 3 7 AAA −+ R: 96 Questão 03 Resolver a equação: a) 12A 2x = R: 4 b) 2x 3 x A4A ⋅= R: 6 c) 30A 2 1n =− R: 7 d) 0AA 2,x3,x =− R: 3 e) 25AA 2,n1,n =+ R: 5 f) 9 A AA 4 n 5 n 6 n = + R: 7 Questão 04 Dispondo de sete cores, de quantas formas distintas podemos pintar uma bandeira com três listras verticais de cores diferentes? R: 210 Questão 05 Quantos números de três algarismos distin- tos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6? R: 120 Questão 06 Quantos números pares de 4 algarismos po- demos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, sem repeti-los? R: 420 Questão 07 Quantas palavras de 3 letras, sem repetição, podemos formar com as 9 primeiras letras de nosso alfabeto? R: 504 Questão 08 Com os algarismos de 1 a 9, sem repeti-los, quantos: a) números de 3 algarismos podemos es- crever? R: 504 b) números pares de 3 algarismos podemos escrever? R: 224 c) números ímpares de 4 algarismos pode- mos escrever? R: 1.680 d) números de 4 algarismos que terminam com o algarismo 3 podemos escrever? R: 336 e) números de 3 algarismos e divisíveis por 5 podemos escrever? R: 56 Questão 09 Quantos números de 3 algarismos, sem re- petição, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, incluindo sempre o algarismo 4? R: 168 Questão 10 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são for- mados números de 4 algarismos distintos. Dentre eles, quantos são divisíveis por 5? R: 60 Questão 11 Quantos são os números compreendidos en- tre 2.000 e 3.000, formados por algarismos distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? R: 336 Questão 12 Quantos números compreendidos entre 1.000 e 8.000, podemos formar com os alga- rismos ímpares, sem os repetir? R: 96 Questão 13 Quantos números naturais compreendidos entre 100 e 3.000, podemos formar utilizan- do somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, de modo que não figurem algarismos repeti- dos? R: 240 Matemática Prof.: Joaqui m Rodrigues 6 COMBINAÇÃO: é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente do outro ape- nas pela natureza dos elementos componen- tes. Combinação simples: !)pn(!p !n C p,n − = QUESTÕES Questão 01 Calcular: a) 38C R: 56 b) 210C R: 45 c) 1 11 4 5 1 4 3 6 CCC C ++ R: 1 d) 3 3 4 2 5 P17 AC ⋅ + R: 3 1 Questão 02 Simplificar a expressão 3 1x 2 1x 3 x C CC − −+ R: 3x 3x − + Questão 03 Resolva as equações: a) 6CC 2n 1 n =+ R: 3 b) 0CC 2m 3 m =− R: 5 c) x55 x 5 C6A −⋅= R: 3 d) 2 C C 8 1p 8 2p = + + R: 14 Questão 04 Se 30Apn = e 15C p n = , calcule o valor de !n !)pn( + . R: 56 Questão 05 Quantas saladas de frutas com 4 frutas cada podemos preparar com 7 frutas diferentes? R: 35 Questão 06 Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de saladas, contendo 6 espécies diferentes, podem ser feitas? R: 210 Questão 07 De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salão dispondo de 8 joga- dores? R: 56 Questão 08 Quantas comissões com 6 membros pode- mos formar com 10 alunos? R: 210 Questão 09 Numa sala, temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos podemos formar de 2 rapa- zes e 3 moças? R: 200 Questão 10 A diretoria de uma firma é constituída de 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formadas? R: 140 Questão 11 Um empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas contendo no mínimo 1 diretor? R: 55 Questão 12 Sobre uma reta marcam-se 8 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam- se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 quaisquer desses pontos? R: 220 Questão 13 Num plano temos 12 pontos, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos triângu- los distintos podem ser formados com vérti-