Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros

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Considere a primeira equação:

\[a \cap b = 24\]

Desenvolvendo a expressão matemática da operação \(\cap\), obtemos:

\[\left( {a + 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 24\]

\[ab - a + b - 1 = 24\]

Logo:

\[\eqalignno{ ab - a +b &= 25 &(1) }\]

Considere agora a segunda equação:

\[b \cap a = 30\]

Repetindo o processo para esta equação, temos:

\[\left( {b + 1} \right)\left( {a - 1} \right) = 30\]

\[ab - b + a - 1 = 30\]

Logo:

\[\eqalignno{ ab + a - b &= 31 &(2) }\]

Somando-se as equações (1) e (2), obtemos:

\[2ab = 56\]

Portanto:

\[\eqalignno{ ab &= 28 &(3) }\]

Substituindo (3) em (2), obtemos:

\[\eqalign{ 28 + a - b &= 31 &\cr a - b &= 3 &}\]

Donde:

\[\eqalignno{ b &= a-3 &(4) }\]

Substituindo (4) em (3), obtemos:

\[\eqalign{ a(a - 3) &= 28 &\cr {a^2} - 3a - 28 &= 0 &}\]

Podemos obter o valor de a usando a fórmula resolutiva das equações de 2º grau. A solução positiva para a equação acima é dada por:

\[a = {{3 + \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} - 4 \times 1 \times \left( { - 28} \right)} } \over 2} = {{3 + \sqrt {121} } \over 2} = 7\]

Substituindo o valor de a em (3), temos:

\[\eqalign{ 7b &= 28 &\cr b &= 4 &}\]

Assim, conclui-se que o valor de \(a + b\) é:

\[\boxed{a + b = 7 + 4 = 11}\]

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Portanto, a resposta correta para esta questão é a alternativa A.

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Considere a primeira equação:

\[a \cap b = 24\]

Desenvolvendo a expressão matemática da operação \(\cap\), obtemos:

\[\left( {a + 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 24\]

\[ab - a + b - 1 = 24\]

Logo:

\[\eqalignno{ ab - a +b &= 25 &(1) }\]

Considere agora a segunda equação:

\[b \cap a = 30\]

Repetindo o processo para esta equação, temos:

\[\left( {b + 1} \right)\left( {a - 1} \right) = 30\]

\[ab - b + a - 1 = 30\]

Logo:

\[\eqalignno{ ab + a - b &= 31 &(2) }\]

Somando-se as equações (1) e (2), obtemos:

\[2ab = 56\]

Portanto:

\[\eqalignno{ ab &= 28 &(3) }\]

Substituindo (3) em (2), obtemos:

\[\eqalign{ 28 + a - b &= 31 &\cr a - b &= 3 &}\]

Donde:

\[\eqalignno{ b &= a-3 &(4) }\]

Substituindo (4) em (3), obtemos:

\[\eqalign{ a(a - 3) &= 28 &\cr {a^2} - 3a - 28 &= 0 &}\]

Podemos obter o valor de a usando a fórmula resolutiva das equações de 2º grau. A solução positiva para a equação acima é dada por:

\[a = {{3 + \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} - 4 \times 1 \times \left( { - 28} \right)} } \over 2} = {{3 + \sqrt {121} } \over 2} = 7\]

Substituindo o valor de a em (3), temos:

\[\eqalign{ 7b &= 28 &\cr b &= 4 &}\]

Assim, conclui-se que o valor de \(a + b\) é:

\[\boxed{a + b = 7 + 4 = 11}\]

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Portanto, a resposta correta para esta questão é a alternativa A.