O desenvolvimento dos produtos notáveis abaixo é dado respectivamente por

A álgebra utiliza letras e números na representação de situações matemáticas. Alguns elementos, denominados produtos notáveis, são de extrema importância para o desenvolvimento de situações algébricas

Eles consistem em binômios especiais com formas de resolução através de regras matemáticas. Os produtos notáveis são conteúdos inerentes ao 8º ano do ensino fundamental e pré-requisitos para futuros conteúdos, por isso é indispensável a sua apresentação.

Apresente aos alunos os produtos notáveis seguidos de seus nomes:

(a + b)² → quadrado da soma de dois termos

(a – b)² → quadrado da diferença de dois termos

(a + b) * (a – b) → produto da soma pela diferença de dois termos

(a + b)³ → cubo da soma de dois termos

(a – b)³ → cubo da diferença de dois termos

Resolução dos produtos notáveis pela regra:

Quadrado da soma: quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo.

(a + 5)² → a² + 2 * a * 5 + 5² → a² + 10a + 25

Quadrado da diferença: quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo.

(x – 10)² → x² – 2 * x * 10 + 10² → x² – 20x + 100

Produto da soma pela diferença entre dois termos: quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

(x – 8) * (x + 8) → x² – 8² → x² – 64

Cubo da soma: cubo do primeiro termo, mais três vezes o primeiro termo elevado ao quadrado vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo elevado ao quadrado, mais o segundo termo elevado ao cubo.

(x + 3)³ → x³ + 3 * x² * 3 + 3 * x * 3² + 3³ → x³ + 9x² + 27x + 27

Cubo da diferença: cubo do primeiro termo, menos três vezes o primeiro termo elevado ao quadrado vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo elevado ao quadrado, menos o segundo termo elevado ao cubo.

(x – 2)³ → x³ – 3 * x² * 2 + 3 * x * 2² – 2³ → x³ – 6x² + 12x – 8

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O quadrado da soma e o quadrado da diferença são expressões algébricas que se enquadram nas condições de produtos notáveis, pois podem ser resolvidas através de generalizações lógicas.

Quadrado da soma (a + b)²

“O primeiro termo elevado ao quadrado mais o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”

(x + 5)² = (x)² + 2*x*5 + (5)² = x² + 10x + 25

(2x + 4)² = (2x)² + 2*2x*4 + (4)² = 4x² + 16x + 16

(5x + 9)² = (5x)² + 2*5x*9 + (9)² = 25x² + 90x + 81

(6x + 2/3)² = (6x)² + 2*6x*2/3 + (2/3)² = 36x² + 8x + 4/9

(10x² + 12)2 = (10x²)² + 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 + 240x2 + 144

(x³ + 2x)² = (x³)² + 2*x³*2x + (2x)² = x6 + 4x4 + 4x²

(13x + 20)² = (13x)² + 2*13x*20 + (20)² = 169x² + 520x + 400

Quadrado da diferença (a – b)²

“O primeiro termo elevado ao quadrado menos o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”

(x – 6)² = (x)² – 2*x*6 + (6)² = x² – 12x +36

(5x – 8)² = (5x)² – 2*5x*8 + (8)² = 25x² – 80x + 64

(9x – 7)² = (9x)² – 2*9x*7 + (7)² = 81x² – 126x + 49

(6x² – 4/6)² = (6x²)² – 2*6x²*4/6 + (4/6)² = 36x4 – 8x² + 16/36 = 36x4 – 8x² + 4/9

(10x² – 12)2 = (10x²)² – 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 – 240x2 + 144

(x4 – 2x²)² = (x4)² – 2*x4*2x² + (2x²)² = x8 – 4x6 + 4x4

(11x – 6z)² = (11x)² – 2*11x*6z + (6z)² = 121x² – 132xz + 36z²

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Esta lista de exercícios sobre produtos notáveis tem como objetivo testar seus conhecimentos sobre essas simplificações de produtos algébricos. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira

Analisando as alternativas a seguir, marque aquela que contém de forma correta a solução do produto notável (x – 5)²:

A) x² + 25

B) x² – 25

C) x² – 10x + 25

D) x² + 10x – 25

E) x² + 10

Durante as aulas de matemática, o professor Raul decidiu revisar com os estudantes os produtos notáveis. Então, ele escreveu no quadro as seguintes expressões:

I → (x – 2) (x + 2)

II → (x + 3)²

III → (x – 2)³

Os produtos notáveis listados pelo professor são conhecidos, respectivamente, como:

A) Quadrado da diferença, quadrado da soma e cubo da diferença.

B) Produto da soma pela diferença, quadrado da soma e cubo da diferença.

C) Trinômio quadrado perfeito, cubo da soma, cubo da diferença.

D) Quadrado da soma, produto da soma pela diferença e cubo da diferença.

E) Produto da soma pela diferença, quadrado do cubo, cubo da diferença.

Realizando a simplificação da expressão algébrica a seguir, encontraremos:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Simplificando a expressão (x + 5)² – x (x + 10), encontraremos:

A) 25

B) 30

C) 50

D) 75

E) 100

Resolvendo os produtos notáveis da expressão (2x – 5) (2x + 5) – (2x – 5)² e simplificando, encontraremos como resultado o polinômio:

A) 20x

B) 20x – 50

C) 8x³ + 2x²

D) 50

E) 2x – 25

Durante os estudos de cálculo 1, um matemático se deparou com a seguinte expressão: (g + a) (g – a), vendo-se diante de um produto notável conhecido como o produto da soma pela diferença. A solução desse produto notável é sempre igual ao:

A) quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

B) quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro, vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

C) quadrado do primeiro termo menos o segundo termo.

D) quadrado do primeiro termo mais o quadrado do segundo termo.

E) quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Ao desenvolver o produto (2x + 4)², encontramos como solução o polinômio:

A) 4x² + 16x + 16

B) 4x + 16

C) 4x² + 16

D) 2x² + 8x + 8

E) 4x + 8

Das alternativas a seguir, marque aquela que contém um produto notável:

A) x² + 25

B) (x² – 3)

C) (a – 3)²

D) (x + 2) (x – 4)

E) (x – 1) (x – 2) (x + 3)

Sobre os produtos notáveis, julgue as afirmativas a seguir:

I → A multiplicação de dois polinômios é sempre um produto notável.

II → O produto (a + b)³ é um produto notável.

III → O produto da soma pela diferença é sempre igual à soma do quadrado do primeiro e segundo termos.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é falsa.

B) Somente a afirmativa II é falsa.

C) Somente a afirmativa III é falsa.

D) Todas as afirmativas são falsas.

E) Todas as afirmativas são verdadeiras.

(UFRGS 2016) Se x + y = 13 e x · y = 1, então, x² + y² é:

A) 166

B) 167

C) 168

D) 169

E) 170

A diferença entre (1522² – 1520²) é igual a:

A) 2000

B) 2340

C) 5040

D) 6084

E) 7320

(IMNEC) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença entre dois números reais é igual:

A) à diferença dos quadrados dos dois números.

B) à soma dos quadrados dos dois números.

C) à diferença dos dois números.

D) ao dobro do produto dos números.

E) ao quádruplo do produto dos números.

respostas

Alternativa C

Note que estamos calculando o quadrado de uma diferença. Nesse produto notável, temos como resposta:

(x – 5)² = x² – 2 · 5 · x + 5²

(x – 5)² = x² – 10x + 25

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Alternativa D

Podemos observar que, no numerador, temos um produto da soma pela diferença, então, temos que:

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Alternativa A

Calculando, temos que:

(x + 5)² – x(x + 10)

x² + 10x + 25 – x² – 10x

25

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Alternativa B

Resolvendo os produtos notáveis, temos que:

(2x – 5) (2x + 5) – (2x – 5)²

4x² – 25 – (4x² – 20x + 25)

4x² – 25 – 4x² + 20x – 25

20x – 50

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Alternativa D

Temos um caso de produto da soma pela diferença, que tem como resposta o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

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Alternativa A

Calculando o produto notável conhecido como quadrado da soma, temos como resultado:

(2x + 4)² = 4x² + 16x + 16

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Alternativa C

Note que, na alternativa C, temos o cubo da diferença, que é um produto notável; as demais não são produtos notáveis.

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Alternativa A

I → A multiplicação de dois polinômios é sempre um produto notável. (falsa)

Nem sempre uma multiplicação é um produto notável.

II → O produto (a + b)³ é um produto notável. (verdadeiro)

Verdadeira, pois trata-se do cubo da soma.

III → O produto da soma pela diferença é sempre igual à soma do quadrado do primeiro e segundo termos. (verdadeira)

Sempre que encontramos um produto da soma pela diferença, ele será igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

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Alternativa B

Calculando o quadrado da soma, temos que:

(x + y)² = x² + 2xy + y²

Sabemos que x + y = 13 e que xy = 1:

(13)² = x² + 2 · 1 + y²

169 = x² + 2 + y²

169 – 2 = x² + y²

167 = x² + y²

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Alternativa D

Transformando essa operação em um produto da soma pela diferença, temos que:

(1522 + 1520) (1522 – 1520)

34420 · 2

6084

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Alternativa E

Seja a e b dois números, sabemos que:

(a + b)² =a² + 2ab + b²

Por outro lado, o quadrado da diferença é dado por:

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Então, queremos a diferença do quadrado da soma e o quadrado da diferença:

a² + 2ab + b² – (a² – 2ab + b²)

a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b²

4ab

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