Onde uma terceira carga pode ser posicionada para que a força resultante que age sobre ela seja nula?

Benjamin Franklin (1706–1790)

Desde o século 7 a. C. os gregos já conheciam as forças elétricas que actuam à distância entre objetos eletrizados por fricção. No século 18, Stephen Gray descobriu que a eletrização de um objeto pode ser transferida, como se fosse um fluido, através de alguns corpos chamados condutores e que existem dois tipos desse "fluido" elétrico. Benjamin Franklin, observando que tanto o objeto eletrizado por fricção como o material usado para friccionar adquirem cargas da mesma grandeza mas de tipos opostos, postulou a existência de um único fluido elétrico. Segundo Franklin, todos os objetos no seu estado natural contêm uma dada quantidade de fluido elétrico; o friccionamento faz com que parte desse fluido seja transferido ficando um dos objetos com excesso e o outro com falta desse fluido.

Não podendo detetar o fluxo de fluido elétrico, Franklin assumiu que no vidro esfregado com seda o fluido passa da seda para o vidro. Assim sendo, Franklin chamou carga positiva (excesso de fluido elétrico) ao estado de eletrização do vidro esfregado com seda e carga negativa ao estado de eletrização da seda usada para esfregar esse vidro. Atualmente sabe-se que a matéria é constituída por átomos e que um átomo ou molécula está no seu estado elétrico "natural" (neutro), quando tem o mesmo número de eletrões e de protões. O fluido elétrico postulado por Franklin é realmente a transferência de eletrões entre átomos ou moléculas. No caso do vidro eletrizado por fricção com seda, os eletrões passam do vidro para a seda; ou seja, usando os sinais adotados por Franklin para a carga, o eletrão é uma partícula com carga elétrica negativa,

1.1. Força e carga elétricas

Toda a matéria é constituída por átomos e cada átomo é formado por três tipos de partículas fundamentais. O eletrão foi a primeira partícula dessas partículas a ser descoberta, por J. J. Thomson em 1897. Os outros dois tipos de partículas atómicas são os protões e os neutrões que se encontram no núcleo atómico com carga positiva e eletrões à sua volta (ver figura 1.1). O que distingue os átomos de diferentes elementos químicos é o número de protões no núcleo, chamado número atómico.

Por exemplo, o átomo com 3 protões e 4 neutrões que mostra a figura 1.1 é um átomo de lítio, com número atómico igual a 4. Um eletrão isolado é uma partícula muito pequena, mas dentro do átomo, cada eletrão assemelha-se de uma "nuvem" espalhada em torno do núcleo.

Entre dois protões ou dois eletrões atua uma força repulsiva chamada força elétrica. A origem dessa força é atribuída a uma propriedade intrínseca das partículas fundamentais, chamada carga elétrica.

A intensidade da força elétrica entre dois protões ou dois eletrões é exatamente igual, se a distância entre as partículas for a mesma. Isso implica que a grandeza da carga elétrica dos protões e dos eletrões é a mesma. Um protão e um eletrão, colocados à mesma distância que esses dois protões ou eletrões, também interagem com força elétrica da mesma intensidade, mas essa força é atrativa, em vez de repulsiva.

Conclui-se então que existem dois tipos diferentes de carga elétrica: a carga dos protões e a carga dos eletrões. A força elétrica entre duas partículas com o mesmo tipo de carga é repulsiva, enquanto que a força entre partículas com diferentes tipo de carga é atrativa.

Um átomo neutro (com igual número de protões e de eletrões) e não polarizado (nuvem eletrónica com centro no núcleo), não produz forças elétricas sobre outras partículas com carga. Assim sendo, é conveniente distinguir os dois tipos de carga atribuindo-lhes sinais opostos; a convenção adotada é que a carga dos protões é positiva e a carga dos eletrões é negativa. Como o valor absoluto das cargas dessas duas partículas é assim, a carga total dos átomos com igual número de eletrões e protões é nula, explicando porque não produzem forças elétricas sobre outras partículas externas.

Quando um átomo neutro perde um eletrão, fica com uma unidade de carga positiva (ião positivo, com um excesso de um protão em relação ao número de eletrões) e produz as mesmas forças que produz um único protão. Quando num átomo neutro entra mais um eletrão, o átomo passa a ter uma carga total igual a uma unidade de carga negativa (ião negativo, com um eletrão a mais em relação ao número de protões), produzindo as mesmas forças elétricas do que um único eletrão.

A unidade SI usada para medir carga é o coulomb, indicado com a letra C. Nessas unidades, a carga de um protão tem o valor

(1.1)

e=1.602×10−19C

A carga de um eletrão é também igual a esse mesmo valor, mas com sinal negativo. Os neutrões não têm carga elétrica e, como tal, não sofrem nem produzem nenhuma força elétrica.

A partir da segunda metade do século 20, têm sido descobertas muitas outras partículas fundamentais, mas todas essas novas partículas têm cargas elétricas iguais a um múltiplo inteiro (positivo ou negativo) do valor e da carga do protão. Diz-se então que existe quantização da carga. Isto é, qualquer sistema no universo tem sempre uma carga total que é um múltiplo inteiro da carga elementar: e (ver equação 1.1).

Outra propriedade importante da carga, que tem sido observada em todas as experiências em que são produzidas ou aniquiladas partículas fundamentais, é a conservação da carga: a carga total inicial é igual à carga total final.

1.2. Eletrização

É necessária uma energia muito elevada para conseguir remover um protão, ou um neutrão, do núcleo de um átomo. Isso só ocorre no interior das estrelas, na camada mais externa da atmosfera onde chocam partículas cósmicas com muita energia ou nos aceleradores de partículas onde as energias das partículas são suficientemente elevadas. Para extrair ou introduzir um eletrão num átomo neutro é necessária uma energia muito menor.

Sempre que dois objetos diferentes entram em contacto próximo, há eletrões de um dos objetos que passam para o outro. O objeto que for mais susceptível de perder eletrões fica entãoeletrizado com carga positiva (n protões em excesso) e o objeto que tiver menos tendência para perder os seus eletrões fica com carga da mesma intensidade, mas negativa (n eletrões em excesso). Por exemplo, a figura 1.2 mostra uma barra que perdeu eletrões após ter sido esfregada com um pano e esses eletrões passaram para o pano.

Os diferentes materiais podem ser ordenados numa triboelétrica (tabela 1.1), em que os materiais no topo da série são mais susceptíveis de ficar com carga positiva e os materiais no fim da série têm maior tendência para ficar com carga negativa.

Quando a barra de vidro da figura 1.2 é friccionada com seda, alguns eletrões passam do vidro para a seda, porque o vidro está acima da seda na tabela triboelétrica. Como os eletrões transportam carga negativa, o vidro fica com carga positiva e a seda com carga negativa, com o mesmo valor absoluto da carga no vidro. Se a mesma barra de vidro fosse esfregada com uma pele de animal, que está acima do vidro na série triboelétrica, a passagem de eletrões seria da pele para o vidro, ficando a barra de vidro com carga negativa e a pele com carga positiva.

1.3. Lei de Coulomb

Entre as experiências de eletrostática realizadas por Franklin, conta-se uma na qual introduziu pequenas bolinhas de cortiça dentro de uma taça metálica que tinha sido previamente isolada da mesa onde se encontrava e carregada eletricamente. Franklin observou que as bolinhas de cortiça não sentem a ação da força elétrica dentro da taça, ao contrário do que acontece fora dela, onde há forças elétricas que atraem a cortiça da taça.

Priestley conseguiu explicar esse fenómeno da forma seguinte: considere-se uma esfera metálica carregada, como mostra a figura 1.3, e uma partícula com carga q colocada num ponto qualquer dentro da esfera. Um conjunto contínuo de retas que passam pela partícula interseta a esfera, nos dois lados opostos à partícula, formando duas regiões com áreas Aa e Ab , que são diretamente proporcionais aos quadrados das distâncias ra e rb desde P até os dois lados da esfera.

(1.2)

AaAb=r2ar2b

A mobilidade das cargas no metal e as forças repulsivas entre cargas do mesmo sinal, faz com que as cargas se distribuam uniformemente na superfície. Assim sendo, os valores absolutos das cargas nas duas regiões opostas da esfera, |qa| e |qb| , são diretamente proporcionais às áreas das duas regiões e a equação anterior implica:

(1.3)

|qa||qb|=r2ar2b=⇒|qa|r2a=|qb|r2b

As duas regiões nos lados opostos de q produzem sobre a partícula duas forças opostas Fa e Fb . Se o módulo da força elétrica produzida por cada região é proporcional ao valor absoluto da carga na região, dividida pelo quadrado da distância até à partícula, então essas duas forças têm o mesmo módulo e anulam-se.

Qualquer outra região na superfície da esfera tem sempre uma respetiva região no lado oposto da carga q e as força resultante dessas duas regiões sobre a carga q também é nula. Conclui-se então que a força elétrica nula em qualquer ponto do interior da esfera condutora é consequência de que a força elétrica produzida por uma partícula com carga q1 , sobre outra partícula com carga q2 , é diretamente proporcional a |q1| e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as cargas. A lei de ação e reação também implica que o módulo da força elétrica de q2 sobre q1 seja o mesmo, ou seja, a força elétrica entre as partículas deverá ser também proporcional a |q2| . Resumindo, a expressão do módulo da força entre duas partículas com cargas q1 e q2 é

(1.4)

F1/2=k|q1||q2|r21/2,

onde r1/2 é a distância entre as cargas e k é uma constante, chamada constante de Coulomb. Esta expressão da força elétrica chama-se lei de Coulomb:

A força elétrica entre duas cargas pontuais é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

A expressão vetorial para a força que a partícula q1 produz sobre a partícula q2 é a seguinte:

(1.5)

F1/2=kq1q2r22/1ˆr2/1.

O vetor F1/2 é a força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2, q1 e q2 são os valores das suas cargas, e r2/1 e ˆr2/1 são o módulo e o versor do vetor r2/1 , que é a posição da partícula 2 em relação à partícula 1. Nomeadamente, r2/1 é o vetor desde o ponto 1 até o ponto 2, e ˆr2/1 é o vetor de módulo unitário, na direção e sentido do ponto 1 ao ponto 2 (ver figura 1.4).

Na equação 1.5,a força F1/2 tem a mesma direção do versor ˆ r2/1 : linha que passa pelas duas partículas. O produto q1q2 tem sinal positivo se as cargas são do mesmo sinal, ou negativo se fossem de sinal contrário. Ou seja, se as cargas têm o mesmo sinal a força F1/2 é no mesmo sentido do versor ˆr2/1 (força repulsiva) e se os sinais das cargas são diferentes, o sentido da força é oposto a ˆr2/1 (força atrativa). O módulo da força é diretamente proporcional aos valores absolutos das cargas, e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

A lei de ação e reação implica que a força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 é igual e oposta à força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2. Ou seja, F2/1=−F1/2 , mas os módulos dessas duas forças são iguais: F2/1=F1/2 .

A lei de Coulomb é válida unicamente para um sistema de duas cargas pontuais, ou seja, duas partículas com carga concentrada numa região muito pequena do espaço.

A equação vetorial 1.5 é particularmente útil em três dimensões. Em duas dimensões é geralmente mais fácil usar a equação 1.4 para o módulo da força e desenhar a sua direção e sentido num diagrama que permita aplicar relações geométricas.

O valor da constante de Coulomb, no sistema internacional de unidades é

(1.6)

k=8.998×109N·m2C2 .

Também pode interpretar-se k como a constante que define a unidade SI de carga: uma carga de 1 C é uma carga tal que a força elétrica entre duas cargas de 1 C, distanciadas de 1 m, é igual a 8.998×109 N.

Exemplo 1.1

Três partículas com cargas de 3 nC, 5 nC e −8 nC encontram-se nos vértices de um triângulo equilátero de 4 mm de lado. Determine a força total sobre a partícula de carga negativa.

Resolução. O primeiro que convém fazer é calcular o valor da constante eletrostática nas unidades relevantes no problema:

k=9×109N·m2C2 =9×109103mN(106mm2)1018nC2=9mN·mm2nC2;

isto implica que, usando unidades de nC para as cargas, mm para as distâncias e o valor de 9 para a constante k , as forças calculadas pela lei de Coulomb serão dadas em mN.

A seguir escolhe-se um sistema de eixos coordenados como se mostra na figura ao lado. Sobre a partícula de carga −8 C atuam duas forças elétricas, produzidas pelas cargas de 3 nC e 5 nC. Os módulos das duas forças são

Fa=9×3×842mN=13.5mN,Fb=9×5×842mN=22.5mN.

As duas forças são atractivas e fazem um ângulo de 30° com a vertical. Como tal, as componentes da força resultante são

Fx=Fbsin30◦−Fasin30◦=4 .5mN,Fy=−Fbcos30◦−Facos30◦=−183mN

e o módulo da força resultante é

F=4.52+ 3×182=31.5mN

Exemplo 1.2

Quatro cargas pontuais q1=− 12nC , q2=−5nC , q3=9nC e q4=27nC encontram-se nos vértices de um tetraedro regular de aresta d=21 cm. Determine a força resultante sobre a carga q4 .

Resolução. Os três eixos coordenados podem ser escolhidos como mostra a figura ao lado, com a carga q3 na origem, a carga q2 no eixo dos y e a carga q1 sobre o plano xy . Como tal, as posições dessas três cargas são

r3=0r2 =dˆr1=d(cos30◦ˆı+sin30◦ ˆ)=d23ˆı+ˆ

A figura mostra que a coordenada y do vetor r4 é a mesma do vetor r1 , enquanto que a coordenada x é um terço da coordenada de r1 , já que num triângulo equilátero as bissetrizes interceptam-se a um terço da altura do triângulo:

r4=d36ˆı+12ˆ+z4ˆk.

Para calcular a altura z4 do tetraedro, calcula-se o módulo de r4 , que deverá ser igual a d ; assim sendo,

d2112+14+z24=d2⇐⇒z4=6d3.

A posição da partícula 4 relativa a cada uma das outras três partículas obtém-se subtraindo r4 menos a posição da respectiva partícula e os respetivos versores obtêm-se dividindo por d , já que as arestas do tetraedro são todas iguais a d :

ˆr4/1=63ˆ−3 3ˆk,ˆr4/2=−12ˆı+63ˆ +36ˆ k,ˆr4/3=12ˆ ı+63ˆ+36ˆk.

As 3 forças elétricas sobre a partícula 4 calculam-se a partir da equação 1.5 e a força resultante é a soma dessas 3 forças

 F4=kq4d2(q1ˆr4/1+q2ˆr4/2+q3ˆr4/3).

Como a aresta do tetraedro é dada em centímetros, convém usar a constante k nas unidades seguintes:

k=90µN·cm2nC2.

O resultado obtido para a força sobre a partícula 4 é

F4=5.511433ˆı+7ˆ−863ˆk=⇒F4=5.511963+1283=57.26µ N.

1.4. Campo elétrico

No exemplo 1.2, se a carga q4 fosse substituída, por exemplo, por outra carga igual −0.6q4 a força resultante F4 seria o mesmo vetor calculado no exemplo, multiplicado por −0.6 . Em geral, quaisquer que sejam as cargas que produzem forças sobre uma partícula com carga q , colocada num ponto P do espaço, a força elétrica F produzida sobre essa partícula é sempre diretamente proporcional ao valor da carga q . Ou seja,

(1.7)

F=qE,

onde o vetor E chama-se campo elétrico. Um sistema de várias cargas produzem, em cada ponto do espaço, um campo elétrico E , que pode ser determinado medindo a força elétrica F que atua sobre uma pequena carga de prova q0 colocada nesse ponto e dividindo a força F pelo valor de q0 .

Por exemplo, para calcular o campo elétrico produzido por um sistema de n cargas pontuais (q1 , …, qn ), num ponto P, calcula-se a força exercida por cada uma dessas n cargas sobre uma carga de prova q0 colocada no ponto P, como mostra a figura 1.5. A resultante dessas forças é:

(1.8)

F=ni=1kqiq0r2iˆri,

onde cada vector ri vai desde a carga qi até a carga q0 e ˆri e o versor na direção e sentido desse vetor. O campo obtém-se dividindo pela carga de prova q0 :

(1.9)

 E=ni=1kqir2iˆri.

A interpretação física do campo elétrico é que cada carga qi altera o espaço à sua volta (ver figura 1.6) e essa alteração é o campo elétrico. Essa alteração do espaço pode ser detetada através da força que outras partículas com carga sentem quando colocadas nesse espaço.

O conceito de campo elétrico foi adotado pelos físicos do século 19, para explicar como as forças eletrostáticas e gravitacionais podem atuar à distância, entre duas partículas que não estão em contacto. O campo era associado a um meio invisível e imaterial chamado éter; o campo seria como uma onda que se propaga no éter produzindo forças em outros corpos.

A teoria do éter foi abolida na física do século 20, mas o conceito do campo como alteração do espaço prevalece. Existe evidência experimental de que a ação de uma partícula sobre outra não ocorre instantaneamente, mas propaga-se desde uma partícula até a outra à velocidade da luz. Se, por exemplo, neste instante uma grande quantidade de carga negativa saísse do Sol, ficando este com carga total positiva, as forças produzidas por essas cargas só seriam detetadas na Terra 8.5 minutos mais tarde, o tempo que o campo demora a deslocar-se do Sol até a Terra, à velocidade da luz.

Exemplo 1.3

O valor da força sobre uma carga de prova de 5 nC, num determinado ponto, é igual a 2×10−4 e tem a direção do eixo dos x . Determine o campo elétrico nesse ponto. Qual será a força sobre um eletrão colocado nesse mesmo ponto?

Resolução. A da força calcula-se o campo elétrico no ponto

E=Fq0= 2×10−4N5nCˆı=(4×104ˆı)NC.

A força sobre um eletrão no mesmo ponto será

F=eE=− 1.60×10−19×4×104ˆıN C=(−6.4×10−15ˆı)N.

1.5. Linhas de campo elétrico

O campo elétrico pode ser representado por vetores que indicam a direção e sentido do vetor E em vários pontos do espaço. Outra forma de representar o campo é por meio de curvas que seguem a direção do campo com uma seta a indicar o sentido; em cada ponto de uma dessas linhas de campo, o campo é o vetor tangente no sentido indicado pela seta. A figura 1.7 mostra as linhas de campo produzidas por duas cargas pontuais de 4 nC e 9 nC colocadas na origem, e no ponto x=1 , y=0 .

As linhas de campo elétrico têm várias propriedades

• Na vizinhança de uma carga pontual positiva há linhas que saem em todas as direções e na vizinhança de uma carga negativa há linhas que entram em todas as direções (ver figura 1.8).
• Duas linhas de campo nunca se cruzam; num ponto de cruzamento o campo teria duas direções diferentes, o que não é possível.
• Nos pontos isolados, onde não existem cargas pontuais, mas o campo elétrico é nulo, existem linhas de campo que partem desse ponto e linhas de campo que se aproximam desse ponto.

No exemplo que foi apresentado na figura 1.7, há linhas a sair em todas direções nos pontos (x,y)=(0,0) e (1, 0), onde existem cargas positivas. Existe um único ponto onde o campo total é nulo, no segmento entre as duas cargas onde os módulos dos campos das duas cargas são iguais:

(1.10)

kq1r21= kq2r22=⇒r2r1=q2 q1=32

e como a soma das duas distâncias é r1+r2=1 , r1 é igual a 0.4 e as coordenadas do ponto de campo nulo são (0.4, 0). As duas linhas de campo ao longo do eixo dos x , no segmento entre x=0 e x=1 , aproximam-se assimptoticamente desse ponto de campo nulo e existem outras duas linhas de campo que partem do ponto para os dois quadrantes onde y é positivo e onde y é negativo.

Outro exemplo são as linhas de campo de um dipolo elétrico, formado por duas cargas iguais de sinais opostos. As linhas de campo são apresentadas na figura 1.9.

Uma distribuição contínua de cargas pode ser aproximada por uma série de cargas pontuais. Por exemplo, se existem cargas distribuídas uniformemente no segmento do eixo dos x entre x=−3 e x=3 , pode-se imaginar um sistema de cargas pontuais, equidistantes, sobre o segmento entre x=− 3 e x=3 . A figura 1.10 mostra as linhas de campo obtidas com 7 cargas pontuais.

Em qualquer sistema de duas cargas cuja soma não seja zero, existe um ponto de campo nulo onde terminam e saem linhas de campo. As linhas de campo elétrico dão também alguma ideia da grandeza relativa do campo elétrico. O campo é mais forte onde a densidade de linhas for maior e mais fraco onde as linhas estiverem mais distanciadas.

1.6. Condutores e Isoladores

Em alguns materiais, como nos metais, o eletrão mais externo de alguns átomos consegue libertar-se do átomo e deslocar-se livremente pelo material; existe assim uma "nuvem" densa de eletrões livres (eletrões de condução), com densidade constante se o material for homogéneo. Esse tipo de material é designado de condutor. Um material que não seja condutor diz-se isolador; dentro de um isolador, as cargas elétricas não se podem deslocar livremente.

Se um condutor é colocado numa região onde existe campo elétrico, como a nuvem eletrónica de condução tem carga negativa, desloca-se no sentido oposto às linhas de campo. O deslocamento dos eletrões de condução faz surgir carga negativa num extremo (excesso de eletrões) e carga positiva no extremo oposto (falta de eletrões). Se a carga total do condutor é nula, o valor absoluto dessas cargas nos extremos será igual. Essas cargas de sinais opostos nos extremos opostos do condutor produzem um campo elétrico interno, no sentido oposto ao campo externo e quando as cargas acumuladas nos extremos sejam suficientemente elevadas, dentro do condutor os dois campos se anulam e o movimento dos eletrões de condução cessa.

A figura 1.11 mostra uma barra com carga positiva, colocada na proximidade de uma esfera condutora montada num suporte isolador; a nuvem eletrónica de condução na esfera aproxima-se da barra, deixando carga positiva na região mais afastada da barra e a mesma quantidade de carga negativa na região mais próxima da barra. Se o suporte não fosse isolador, entravam no condutor eletrões do suporte e as cargas positivas indicadas na figura desapareciam.

Se a barra tivesse carga negativa, em vez de positiva, as posições das cargas positivas e negativas na esfera seriam trocadas. Uma vez acumuladas cargas de sinais opostos nos extremos da esfera, o campo elétrico total dentro da esfera é nulo; como tal, as linhas de campo não penetram na esfera e os eletrões de condução dentro da esfera não sentem qualquer força elétrica. Nos dois casos (barra com carga positiva ou negativa), as cargas na superfície da esfera mais próxima da barra são atraídas para a barra e essa atração é maior do que a repulsão sobre as cargas na superfície mais afastada da barra. Assim, qualquer objeto externo com carga de qualquer sinal produz sempre uma força atrativa nos condutores com carga total nula.

Se a mesma experiência é realizada com uma esfera isoladora (figura 1.12), não há acumulação de cargas nos extremos; assim, o campo no interior da esfera não se anula e todas as moléculas dentro dela são polarizadas, isto é, a sua própria nuvem eletrónica desloca-se no seu interior da molécula, no sentido oposto do campo. No caso apresentado na figura (barra com carga positiva), a nuvem eletrónica das moléculas deixa de estar centrada no mesmo ponto das cargas positivas, passando a estar centrada num ponto mais próximo da barra; cada átomo torna-se um pequeno dipolo elétrico, que é um sistema com carga total nula, mas com as cargas positivas e negativas em pontos diferentes.

A figura 1.12 mostra também algumas das moléculas da esfera isoladora, polarizadas formando dipolos. O lado dos dipolos que está mais próximo da barra com carga tem sempre carga de sinal oposto ao da carga na barra. Como consequência, a força resultante em cada dipolo é atrativa e a sobreposição de todas essas forças produz uma força resultante atrativa entre a barra e a esfera. Ou seja, entre um objeto com carga de qualquer sinal e um material isolador sem carga surge sempre força elétrica atrativa.

1.7. Distribuições contínuas de carga

Para calcular o campo elétrico num ponto P, com vetor posição r , produzido por uma carga distribuída continuamente dentro de uma região do espaço, divide-se essa região em n sub-regiões, com cargas suficientemente pequenas para que possam ser consideradas cargas pontuais. Seja o vetor posição de cada uma dessas regiões r e a carga nessa região ∆q . O vetor desde a região i até o ponto P é ri=r−r e o versor na direção e sentido desse vetor é ˆr i=(r−r)/|r−r| (ver figura 1.13).

Substituindo na expressão 1.9 do campo elétrico devido a um sistema de cargas pontuais, obtém-se uma expressão aproximada para o campo elétrico:

(1.11)

E≈ni=1k∆qr2iˆri=kn i=1∆q(r−r)| r−r|3.

A aproximação torna-se exata no limite n→∞ , de forma a tornar todas as cargas ∆q infinitesimalmente pequenas (dq ) e a soma nesse limite define um integral:

(1.12)

E=k∞i=1∆q (r−r)|r−r |3=kRr−r|r−r|3dq.

onde a região de integração, R, é a região onde existe carga. O integral será integral de linha, de superfície ou de volume, conforme a carga esteja distribuída numa curva, superfície ou volume, respetivamente.

1.7.1. Carga distribuída numa curva

No caso de cargas distribuídas ao longo de um fio (figura 1.14), a carga diferencial dq no pedaço de fio entre os pontos nas posições r e r+dr é diretamente proporcional ao comprimento ds desse pedaço de fio:

(1.13)

dq=λ(r)ds,

onde λ(r) é uma função que depende da posição no fio, chamada carga linear, que é igual à carga por unidade de comprimento do fio.

A equação vetorial de curva contínua é uma expressão para r em função de um único parâmetro real u , que determina a posição dos pontos na curva. Cada possível valor do parâmetro u determina a posição de um ponto da curva e u pode ser, por exemplo, um ângulo, um comprimento ou um instante de tempo; dr é a variação do vetor r devida a o aumento infinitesimal do parâmetro u e é sempre tangente à curva. O comprimento infinitesimal de arco, ds , é igual ao módulo do vetor dr . O integral em 1.12 é um integral de linha ao longo da curva C ao longo do fio:

(1.14)

E≈k Cλ(r)r−r|r−r|3ds.

Trata-se de uma aproximação, porque o fio não é uma curva mas sim um sólido. A aproximação será mais exata quanto menor for a secção transversal do fio. Realmente existem muitos percursos possíveis dentro do fio, sendo necessário usar um percurso médio para calcular o integral de linha.

Exemplo 1.4

Um anel circular de raio a tem carga total Q , distribuída uniformemente. Determine a expressão do campo elétrico ao longo do eixo do anel.

Resolução; método 1. A carga linear do anel é

λ=Q2πa.

Sejam o eixo dos x o eixo do anel, o eixo dos y no plano do anel, tal como mostra a figura seguinte:

Em coordenadas polares, os pontos sobre o anel são os pontos da circunferência com equação vetorial

r=acosφˆ+asinφ ˆk,

com 0≤φ<2π (o parâmetro φ será a variável de integração). É claro que o comprimento diferencial de arco na circunferência de raio a é igual a

ds=adφ,

resultado este que pode ser obtido também calculando o módulo do vetor

dr=(−asinφˆ+acosφˆk)dφ.

O vetor desde um ponto qualquer do anel até o ponto P é

 r−r=xˆı−acosφˆ−a sinφˆk

|r−r|3=(r−r)·(r−r)3/2=x2+a23/2

e substituindo na equação 1.14 obtém-se

E=kQ2πx2+a23/22π0( xˆı−acosφˆ−asinφˆk)dφ.

Os integrais do seno e do cosseno, entre 0 e 2 π são nulos e, como tal, o campo em P é

(1.15)

E=kQxx2+a23/2ˆı.

Ou seja, em qualquer ponto do eixo do anel, o campo elétrico aponta na direção desse eixo, afastando-se do anel se a carga Q for positiva ou aproximando-se dele se for negativa.

Resolução; método 2. A figura seguinte mostra os campos produzidos por dois segmentos infinitesimais do anel, que se encontram nos lados opostos dum mesmo diâmetro do anel.

As componentes desses dois campos perpendiculares ao eixo do anel anulam-se e as componentes paralelas ao anel somam-se. Assim sendo, as cargas nesses dois segmentos podem ser colocadas no mesmo lado do anel, produzindo um campo duas vezes maior que o campo do primeiro segmento e a projeção desse campo ao longo do eixo do anel é igual à resultante dos dois campos iniciais.

O mesmo procedimento pode ser feito com todos os segmentos do anel e, como a componente do campo ao longo do eixo será a mesma independentemente da posição do segmento no anel, todas as cargas do anel podem ser concentradas numa única carga pontual Q colocada na posição do lado direito na figura acima e o campo total será a projeção do campo produzido por essa carga pontual ao longo do eixo.

O quadrado da distância desde essa carga pontual Q até o ponto P é igual a x2+a2 e o módulo do campo elétrico devido a essa carga é:

EQ=kQx2+a2.

O módulo do campo do anel obtém-se multiplicando pelo cosseno do ângulo θ , que é igual a x sobre x2+a2

E=kQxx2+a2 3/2

e a expressão vetorial do campo obtém-se multiplicando por ˆı .

1.7.2. Carga distribuída numa superfície

Quando a carga está distribuída continuamente numa lâmina fina (ver figura 1.15), o integral do campo pode ser aproximado por um integral de superfície. Nesse caso, a carga infinitesimal dq numa região da lâmina está relacionada com a carga superficial, σ :

(1.16)

dq=σ(r )dA,

onde dA é o elemento diferencial de área da região. E σ(r) é a carga por unidade de superfície na posição r sobre a lâmina.

Como tal, a expressão 1.12 para o campo conduz a um integral de superfície sobre a superfície S da lâmina:

(1.17)

E=kSσ(r) r−r|r−r|3dA .

O integral de superfície para o campo é uma aproximação já que as partículas com carga não podem ocupar uma superfície sem espessura, mas sim um volume no espaço. A aproximação será mais exacta quanto menor for a espessura da camada onde estão as cargas (ver figura 1.15).

O integral é um integral duplo, em ordem aos dois parâmetros que sejam usados para definir a superfície S parametricamente. A equação vetorial da uma expressão para o vetor posição r em função de dois parâmetros reais u e v . O elemento diferencial de superfície dA é igual à área da superfície descrita pelo vetor r quando u aumenta para u+du e v aumenta para v+dv .

No próximo capítulo mostra-se como resolver integrais de superfície, determinando o elemento diferencial de superfície para a partir da equação vetorial paramétrica. O estudo neste capítulo limita-se unicamente a os casos de superfícies planas, em que a expressão de dA é mais simples.

Quando a superfície é plana, definem-se dois dos eixos cartesianos, por exemplo x e y , sobre a superfície e o elemento diferencial de área é dA=dxdy ; por vezes é mais útil usar coordenas polares r e θ , como no caso do exemplo seguinte.

Exemplo 1.5

Determine a expressão do campo elétrico ao longo do eixo de um disco plano de raio a e com carga total Q , distribuída uniformemente sobre a sua superfície do disco.

Resolução. Como a carga está distribuída uniformemente sobre a área do disco, πa2 , a carga superficial é constante e igual a:

σ=Q πa2.

Os pontos do disco definem-se facilmente em coordenadas polares, escolhendo os eixos x e y sobre o disco, com origem no centro deste, tal como mostra a figura seguinte

Em função das coordenadas polares na figura, o disco é formado pelos pontos com r e θ nos intervalos 0≤r≤a e 0≤θ<2π . A área infinitesimal dA é a área da região delimitada pelos aumentos diferenciais dr e dθ dos dois parâmetros. Como dR e dθ são muito pequenos, dA é aproximadamente um retângulo de lados dr e rdθ :

(1.18)

dA=rdr dθ.

O vetor posição de um ponto P sobre o eixo do disco, a uma distância z , é

r=zˆ k

e a posição de um ponto qualquer dentro do disco é

r=rcos θˆı+rsinθˆ.

Substituindo na Equação 1.17 obtém-se

E=kQπa22π0a0zˆk−rcosθˆı−rsinθˆ r2+z23/2rdrd θ.

Calculando primeiro os integrais em θ , tem-se que os integrais do seno e o cosseno, entre 0 e 2π , são nulos e o integral do termo que não depende de θ é igual a 2π , logo

E=2kQa2a0zrˆkr2+z23/2dr.

A distância z é constante dentro do integral e a primitiva é

zr2+z2 −1/2.

O resultado obtido é

(1.19)

E=2kQa2z|z|−za2+z2ˆk.

A fração z/|z| é igual a 1 ou −1 consoante z for positiva ou negativa, respetivamente.

1.7.3. Carga distribuída num volume

No caso mais geral, a carga encontra-se distribuída dentro de um volume. A carga infinitesimal dentro de uma sub-região com volume infinitesimal é

(1.20)

dq=ρ( r)dxdydz ,

onde ρ(r) é a carga volúmica no ponto na posição r , ou seja, a carga por unidade de volume. A equação 1.12 conduz a um integral triplo

(1.21)

E=kVρ(r)r−r|r−r|3dxdydz,

onde V é a região onde há carga. Esse integral triplo costuma ser difícil de calcular analiticamente; os casos em que é possível obter um resultado analítico acontecem quando existe alguma simetria na forma como a carga está distribuída no espaço. Nesses casos, existem outros métodos mais simples de determinar a expressão do campo sem ser preciso calcular o integral triplo na equação anterior. Esses métodos serão estudados nos 3 próximos capítulos. Como tal, neste capítulo não será dado nenhum exemplo de utilização dessa equação.

Perguntas

(Para conferir a sua resposta, clique nela.)

1. Coloca-se uma barra com carga positiva próxima de uma folha de papel com carga nula. A força que a barra exerce sobre o papel é então:
   1. Atrativa.
   2. Repulsiva.
   3. Nula.
   4. Atrativa ou repulsiva, conforme a barra seja condutora ou isoladora.
   5. Atrativa se o papel estiver seco ou nula se estiver húmido.
2. O que distingue um condutor elétrico de um isolador é:
   1. Ter mais eletrões do que protões.
   2. Ter mais protões do que eletrões.
   3. Ter mais eletrões do que o isolador.
   4. Ter moléculas que se deformam mais facilmente.
   5. Ter algumas partículas com carga livres de se deslocar.
3. Colocam-se três cargas no eixo dos x :
   q1=− 6.0 µC, em x=−2.0 m,
   q2=+ 4.0 µC, em x=0 ,
   q3=−6.0 µC, em x=+2.0 m.
   Determine o módulo da força elétrica resultante sobre q3 .
   1. 2.4×10−2 N
   2. 1. 7×10−2 N
   3. 0
   4. 2.7×10−2 N
   5. 3.4×10−2 N
4. Três esferas idênticas e condutoras, isoladas, uma delas com carga Q e as outras duas sem carga, colocam-se em contacto, cada uma delas tocando as outras duas e a seguir separam-se. Qual das seguintes afirmações é correta?
   1. Todas as esferas ficam sem carga.
   2. Cada uma delas fica com carga Q .
   3. Duas delas ficam com carga Q/2 e outra com carga −Q/2 .
   4. Cada uma delas fica com carga Q/3 .
   5. Uma delas fica com carga Q e outra com carga −Q .
5. Uma esfera metálica montada num suporte isolador liga-se à terra com um fio condutor e a seguir aproxima-se uma barra de plástico com carga positiva. A ligação da esfera à terra é retirada e a seguir afasta-se a barra de plástico. Com que carga fica a esfera metálica?
   1. Nula.
   2. Positiva.
   3. Negativa.
   4. Diferente de zero, mas não é possível saber o sinal.
   5. Positiva num extremo e negativa no extremo oposto.

Problemas

1. A soma dos valores de duas cargas pontuais q1 e q2 é q1+q2=10 µC. Quando estão afastadas 3 m entre si, o módulo da força exercida por cada uma delas sobre a outra é 24 mN. Determine os valores de q1 e q2 , se: (a) Ambas cargas são positivas. (b) Uma das cargas é positiva e a outra negativa.
2. O campo elétrico na atmosfera terrestre tem intensidade de aproximadamente 150 N/C e aponta na direção e sentido do centro da Terra. Calcule a relação entre o peso de um eletrão e o módulo da força elétrica oposta exercida pelo campo elétrico da atmosfera (a massa do eletrão é 9.109×10−31 kg e admita que a aceleração da gravidade é 9.8 m/s2).
3. Três cargas pontuais estão ligadas por dois fios isoladores de 2.65 cm cada (ver figura). Calcule a tensão em cada fio.
   

4. Um sistema de três cargas pontuais está em equilíbrio (a força eletrostática resultante sobre cada carga é nula). Se os valores de duas das cargas são q e 2q , separadas por uma distância d , determine o valor e a posição da terceira carga.
5. Mostre que o campo elétrico sobre o eixo de um anel com carga distribuída uniformemente é máximo nos pontos x=+a /2 e x=−a /2 , onde x é medido desde a superfície do disco. Faça um gráfico do módulo do campo em função de x .
6. Determine a força elétrica resultante sobre cada uma das cargas representadas na figura e o campo elétrico produzido pelas 3 cargas no ponto P.
   
7. A figura mostra algumas linhas de campo elétrico de um sistema de duas partículas com carga. O ponto P encontra-se a 4 cm da carga q1 e a 3 cm da carga q2 .
   
   (a) Qual é o sinal das cargas?
   (b) Qual é a relação (q1/q2 ) entre elas?
   (c) Complete o desenho das linhas de campo.
   (d) Se q2=−4.5  nC, calcule a força entre as duas cargas.
8. Um fio não-condutor no plano xy , forma um círculo de raio a com centro na origem. O fio tem carga linear não uniforme λ=λ0sinθ , onde θ é o ângulo em coordenadas polares. Calcule o campo elétrico na origem.
9. Um núcleo de hélio (também chamado partícula alfa) é formado por dois protões e dois neutrões. A força eletrostática entre os protões é repulsiva e muito forte, pois a distância entre eles é muito pequena (aproximadamente 10−15 m). A estabilidade do núcleo é devida à existência de uma outra força entre protões e neutrões, chamada força forte. Para ter uma ideia da ordem de grandeza da força forte, calcule a força eletrostática entre os dois protões no núcleo de hélio.
10. Usando o resultado do exemplo 1.5 para o campo de um disco plano, calcule o campo elétrico produzido por um plano infinito, com carga superficial σ constante.
11. Um disco de 8 cm de raio, tem uma carga superficial σ=ar2 , onde r é a distância desde o centro, e a uma constante igual a 4 µC/m4. Calcule a carga total do disco, e o campo elétrico ao longo do eixo.
12. Um fio fino tem carga linear uniforme λ e forma um arco circular que subtende um ângulo de 2 α , como se indica na figura. Mostre que o módulo do campo elétrico no ponto O é dado pela expressão E=2kλsinα/R .
    
13. Um fio retilíneo tem uma carga linear λ constante. Determine a expressão do campo elétrico em qualquer ponto P em função da distância ao fio, r e os ângulos θ1 e θ2 definidos na figura. Calcule o valor limite do campo quando o fio for infinito. (Sugestão: defina o eixo x na direção do fio, com origem em O e o eixo y na perpendicular que passa por P.)
    

Respostas

Perguntas: 1. A. 2. E. 3. E. 4. D. 5. C.

Problemas

1. (a) 6 µC, e 4 µC (b) 12 µC, e −2 µC.
2. A força eletrostática é 2.7×1012 vezes maior que o peso.
3. A tensão no fio do lado esquerdo é 285 µN e no fio do lado direito 560 µN.
4. A terceira carga é −0.343q , e encontra-se no segmento de recta entre as outras duas cargas, a uma distância 0.414d da carga q .
5.  
6. Com origem na carga q1=−5 nC, eixo dos x na direção de q2 =9 nC, e eixo dos y na direção de q3= 7 nC, as forças são:
   F 1=(1.35ˆı+3.15ˆ) mN F2=(−0.12ˆı−0.71ˆ ) mN
    F3=(−1.23ˆı−2.44ˆ) mN
   O campo em P é: (−0.545ˆı−0.135ˆ) N/µC
7. (a) Negativo. (b) q1/q2 = 16/9. (d) 66 µN.
8.  E=−πkλ0aˆ .
9. 230.4 N.
10. E=2πkσ , perpendicular ao plano.
11. 257 pC. E=72πx 5x2+ 32x2+64−|x|ˆı (x em cm e E em N/C).
12.  
13. E=kλr(sinθ2−sinθ1)ˆı+(cosθ1+cosθ2)ˆ
    O campo do fio infinito é: E=2kλrˆ .