Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os seguintes dígitos 2 5 8 e 9?

Questão 1

Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos: 2, 4, 6 e 8?

a) 15

b)10

c) 12

d) 18

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Questão 2

Em uma sala há 8 professores de matemática, 10 de português e 4 de Biologia. Queremos formar grupos de dois professores de cada matéria. De quantas maneiras distintas podemos organizar esses grupos?

a) 100

b) 200

c) 180

d) 152

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Questão 3

De quantas maneiras diferentes um cliente poderá se servir em um restaurante que apresenta os seguintes pratos: 10 tipos de massas, 4 de carnes, 6 saladas e 2 sobremesas.

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Questão 4

Considerando os algarismos 1, 4, 7, 8 e 2.

a) Quantos números de quatro algarismos podemos formar?

b) Quantos números de quatro algarismos distintos?

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Respostas

Resposta Questão 1

Já que os algarismos devem ser distintos:

4 possibilidades para as dezenas

3 possibilidades para as unidades

Usando o princípio multiplicativo, temos:

4 . 3 = 12 possibilidades

Resposta correta, alternativa c.

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Resposta Questão 2

Temos as seguintes possibilidades:

Letra d

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Resposta Questão 3

Esse exercício utiliza o princípio multiplicativo, pois o cliente vai escolher um prato de cada:

Então, são 10 opções de massas x 4 opções de carne x 6 saladas x 2 sobremesas.

10 . 4 . 6. 2 = 480 possibilidades.

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Resposta Questão 4

a) Basta multiplicar as possibilidades: 5 .5 .5. 5 = 625 possibilidades

b) Como são distintos: 5 . 4 . 3. 2 = 120 possibilidades.

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Utilizamos o arranjo simples quando queremos saber quantos agrupamentos ordenados diferentes podemos formar com p dos n elementos dados, sendo sempre p ≤ n. Ou seja, nesse caso, a ordem em que os elementos se encontram no agrupamento é importante.

Um dos métodos mais antigos de criptografia, utilizado desde a antiguidade, é alterar a posição dos elementos, tornando a mensagem ilegível. Atualmente, com a tecnologia da análise combinatória, o uso da criptografia ficou mais sofisticado. Hoje, informações codificadas expandiram-se: estão presentes em cartões de crédito, na internet e até mesmo em ligações telefônicas.

Por exemplo: usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números naturais de 3 algarismos distintos podemos formar? Para isso, podemos utilizar o seguinte raciocínio:

Como não podemos repetir, há 5 possibilidades para o 1º algarismo, 4 para o 2º e 3 para o 1º. No total, podemos formar 5 . 4 . 3 = 60 números.

Podemos também obter esse mesmo resultado utilizando a fórmula do arranjo:

• n = número total de elementos;
• p = números de elementos que queremos que estejam no agrupamento ordenado.

Resolvendo o exemplo acima, utilizando a fórmula, teremos n = 5 e p = 3:

Diferença entre arranjo e combinação

Quando realizamos a combinação de n elementos em grupos de p elementos, sem se importar com a ordem dos elementos nesse grupo, estamos fazendo a combinação desses elementos. Porém, quando a ordem é importante, precisamos utilizar o arranjo.

Podemos visualizar isso melhor imaginando a seguinte situação:

(1) Anna, Elisa, Rosana, Diego, Fabrício e João estão disputando uma corrida. Quais são as possibilidades de formação do pódio de primeiro, segundo e terceiro lugar?

Nesse caso, a posição em que cada pessoa fica faz diferença: se eles ficam em primeiro, segundo ou terceiro é diferente.

Porém, se essas mesmas pessoas estiverem se organizando em duplas para treinar para esse campeonato, tanto faz se a dupla for (Anna, Elisa) ou (Elisa, Anna). Portanto, a ordem não importa. Nesse caso, usaremos, então, a combinação.

Como resolver exercícios de arranjo?

Todos os exercícios que envolvem arranjo simples podem ser resolvidos de duas formas: utilizando a fórmula e usando um raciocínio de multiplicar os números usados em cada posição. Essas duas maneiras foram empregadas na resolução do primeiro exemplo. Veja outros exemplos, a seguir, nos exercícios resolvidos.

Exercícios resolvidos

1) Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

RESPOSTA:

1ª maneira: utilizando a fórmula.

Procuramos agrupamentos de 2 elementos em que a ordem é importante, pois, por exemplo, 12 ≠ 21. Temos 9 elementos para serem arranjados 2 a 2. Assim, temos que calcular:

2ª maneira: sem usar a fórmula.

Para o algarismo das dezenas, temos 9 opções e, para algarismo das unidades, apenas 8 opções, pois não podemos repetir algarismos.

Assim, temos 9 . 8 = 72 possibilidades.

Portanto, são 72 números.

2) Quantos números de 2 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3 e 4?

RESPOSTA:

1ª maneira: sem usar a fórmula.

Para o algarismo das dezenas, temos 4 opções e, para o algarismo das unidades, apenas 3, pois não podemos repetir algarismos. Assim, temos 4 . 3 = 12 possibilidades, portanto, 12 números.

2ª maneira: utilizando a fórmula.

Nesse caso, temos quatro dígitos, 1, 2, 3 e 4, e queremos saber quantos números de 2 algarismos diferentes podemos escrever com eles. Precisamos calcular A4,2.

3) Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. Quantas maneiras diferentes ele poderá pintar os estados da região Sul do Brasil, cada um de uma cor?

RESPOSTA:

1ª maneira: sem usar a fórmula.

São 3 estados: Rio Grande do Sul, Paraná e Santa Catarina. Para pintar o Rio Grande do Sul, há 5 possibilidades, para o Paraná, 4 possibilidades, e, para Santa Catarina, 3 possibilidades.

Logo, 5 . 4 . 3 = 60 possibilidades.

2ª maneira: usando a fórmula.

Os estados do sul do Brasil são 3: Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. Logo, devemos calcular A5,3.

Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar com os dígitos 2 8 5 e 7?

Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 1 a 9?

Quantos números de dois algarismos distintos podem formar os dígitos 2 4 6 e 8?

Quantos números de dois algarismos podem ser formados utilizando os elementos do conjunto 1 2 e 3?