Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e 50 arestas determine o número de faces dessa figura

A relação de Euler é uma fórmula matemática que relaciona os números de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. Essa relação é dada pela seguinte expressão:

V – A + F = 2

Onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro.

Essa relação é válida para todo poliedro convexo, mas existem alguns poliedros não convexos para os quais ela também pode ser verificada. Dessa forma, dizemos que todo poliedro convexo é Euleriano (isso significa que para ele vale a relação de Euler), mas nem todo poliedro Euleriano é convexo.

Antes de prosseguir com exemplos e demais explicações, é bom relembrar o que é um poliedro convexo, pois a relação acima vale para todos eles.

Poliedros convexos

Um poliedro é chamado convexo quando o plano que contém cada face deixa todas as outras em um mesmo semiespaço. Na prática, não é necessário testar essa definição para todas as faces de um poliedro, mas apenas para aquelas que potencialmente possam classificá-lo como não convexo.

Por exemplo: O poliedro abaixo é não convexo. Para ter certeza disso, desenhamos uma parte de um plano que contém uma de suas faces. É evidente, escolhemos a face problemática para percebermos isso.

Já na figura abaixo, um cubo, um exemplo de um poliedro convexo. Note que ele não possui “concavidades”, ou seja, nenhuma de suas faces esta “voltada para dentro” do poliedro.

Contando os elementos de um poliedro

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Para verificar a validade da relação de Euler, escolheremos dois poliedros convexos e contaremos seus elementos. Depois disso, verificaremos se o número de vértices, arestas e faces realmente satisfazem a relação de Euler. Observe:

1 – Primeiramente, contaremos o número de faces, vértices e arestas da figura anterior (cubo).

Faces: 6

Arestas: 12

Vértices: 8

Agora, verificaremos a relação de Euler:

V – A + F = 8 – 12 + 6 = 14 – 12 = 2

Para o primeiro poliedro convexo, o cubo, a relação de Euler se verifica.

2 – Verificaremos agora a relação de Euler para a pirâmide quadrangular convexa.

Faces: 5

Arestas: 8

Vértices: 5

V – A + F = 5 – 8 + 5 = 10 – 8 = 2

E a relação de Euler também se verifica para a pirâmide quadrangular convexa.

Exemplos

1 – Determine o número de arestas de um sólido geométrico que possui 10 vértices e 7 faces.

V – A + F = 2

10 – A + 7 = 2

– A = 2 – 7 – 10

– A = – 15

A = 15

O sólido possui 15 arestas.

2 – Determine o número de faces que possui um poliedro com 12 arestas e 6 vértices.

V – A + F = 2

6 – 12 + F = 2

F = 2 +12 – 6

F = 8

O número de faces desse poliedro é 8.

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MATEMÁTICA 
ENSINO MÉDIO
QUESTÃO 31
O valor de x que é solução do sistema é um número
ⓐ par primo 
ⓑ ímpar primo
ⓒ par não primo
ⓓ ímpar não primo
ⓔ irracional
QUESTÃO 32
No sistema tem-se que:
ⓐ 
ⓑ 
ⓒ 
ⓓ 
ⓔ 
QUESTÃO 33
Em uma pastelaria, dois pastéis mais três caldos de cana custam R$5,40. Cinco pastéis mais dois caldos custam R$9,10. Qual o preço de quatro pastéis e quatro caldos?
ⓐ R$ 9,20
ⓑ R$ 9,10
ⓒ R$ 9,00
ⓓ R$ 10,20
ⓔ R$ 10,10
QUESTÃO 34
A soma das idades dos amigos Pedro, José e Ivo é igual a 60. Sabe-se que a soma da idade de José com a diferença entre as idades de Pedro e Ivo (nesta ordem) é igual a 30 e que o dobro da idade de Pedro mais a idade de José, menos a idade de Ivo é igual a 55. Assim, a idade de José é:
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 
ⓐ 10
ⓑ 15
ⓒ 20
ⓓ 25
ⓔ 30
QUESTÃO 35
Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizaram R$ 42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta totalizam o valor de:
ⓐ R$ 17,50
ⓑ R$ 16,50
ⓒ R$ 12,50
ⓓ R$ 10,50
ⓔ R$ 9,50
QUESTÃO 36
O Parque de Diversões Dia Feliz, os ingressos custam R$ 10,00 para adultos e R$ 6,00 para crianças. No último domingo, com a venda de 400 ingressos, a arrecadação foi de R$ 3.000,00. A razão entre o número de adultos e crianças pagantes foi:
ⓐ 3/5
ⓑ 2/3
ⓒ 2/5
ⓓ 3/4
ⓔ 4/5
QUESTÃO 37
A superfície total de um poliedro convexo é formada exatamente por 8 faces, sendo 6 quadrangulares e duas hexagonais.
O número total de arestas desse poliedro equivale a:
ⓐ 9
ⓑ 18
ⓒ 24
ⓓ 36
ⓔ 72
QUESTÃO 38 
Um poliedro convexo possui 6 faces triangulares, 2 pentagonais, 2 hexagonais e 1 quadrangular . Quantos vértices tem esse poliedro?
ⓐ 16
ⓑ 17
ⓒ 18
ⓓ 19
ⓔ 20
QUESTÃO 39 
Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura.
ⓐ 34
ⓑ 33
ⓒ 32
ⓓ 31
ⓔ 30
QUESTÃO 40 
Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de vértices desse poliedro. 
ⓐ 12
ⓑ 11
ⓒ 10
ⓓ 9
ⓔ 8
QUESTÃO 41 
Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. 
ⓐ 9
ⓑ 8
ⓒ 7
ⓓ 6
ⓔ 5
QUESTÃO 42 
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro? 
ⓐ 12
ⓑ 11
ⓒ 10
ⓓ 9
ⓔ 8
	Gabarito
	31
	B
	32
	E
	33
	A
	34
	C
	35
	D
	36
	A
	37
	B
	38
	A
	39
	C
	40
	C
	41
	D
	42

Quantas faces tem um poliedro construído com 20 vértices é 50 arestas?

Quantas faces tem um poliedro de 20 vértices?

Quantas arestas possui um poliedro que tem 20 faces é 20 vértices *?

Que um poliedro possui 20 vértices é que em cada vértice se encontram 5 arestas determine o número de faces dessa figura?