A conquista da Matemática 9 ano pdf

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4˜ edição – São Paulo – 2018
JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR
Licenciado em Matemática pela Universidade
de São Paulo (USP).
Professor e assessor de Matemática em escolas
de Ensino Fundamental e Médio desde 1985.
BENEDICTO CASTRUCCI
(Falecido em 2 de janeiro de 1995)
Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela
Universidade de São Paulo (USP).
Foi professor de Matemática da Pontifícia Universidade
Católica (PUC-SP) e da Universidade de São Paulo (USP).
Foi professor de Matemática em escolas públicas e
particulares de Ensino Fundamental e Ensino Médio.
Ensino Fundamental – Anos Finais
Componente curricular: Matemática
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Copyright © Benedicto Castrucci, José Ruy Giovanni Júnior, 2018.
Diretor editorial Antonio Luiz da Silva Rios
Diretora editorial adjunta Silvana Rossi Júlio
Gerente editorial Roberto Henrique Lopes da Silva
Editor João Paulo Bortoluci
Editores assistentes Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Diana Santos, Eliane Cabariti
Casagrande Lourenço, Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner,
Luís Felipe Porto Mendes, Marcos Antônio Silva, Tatiana Ferrari D’Addio
Assessoria Cristiane Boneto, Francisco Mariani Casadore, Luciana de Oliveira
Gerzoschkowitz Moura, Marcelo Eduardo Pereira, Patricia Furtado
Gerente de produção editorial Mariana Milani
Coordenador de produção editorial Marcelo Henrique Ferreira Fontes
Gerente de arte Ricardo Borges
Coordenadora de arte Daniela Máximo
Projeto gráfico Carolina Ferreira, Juliana Carvalho
Projeto de capa Sergio Cândido
Foto de capa Bob Sacha/Getty Images
Supervisora de arte Isabel Cristina Ferreira Corandin
Editora de arte Dayane Santiago, Nadir Fernandes Racheti
Diagramação Débora Jóia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia,
José Aparecido A. da Silva, Lucas Trevelin
Tratamento de imagens Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti
Coordenadora de ilustrações e cartografia Marcia Berne
Ilustrações Estúdio MW, Ilustra Cartoon, Marcos Guilherme, Paulo Manzi,
Studio Caparroz
Cartografia Allmaps, Renato Bassani, Sonia Vaz
Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin
Supervisora de preparação e revisão Maria Clara Paes
Revisão Ana Lúcia Horn, Carolina Manley, Cristiane Casseb, Edna Viana,
Giselle Mussi de Moura, Jussara R. Gomes, Kátia Cardoso, Lilian Vismari,
Lucila V. Segóvia, Miyuki Kishi, Renato A. Colombo Jr., Solange Guerra,
Yara Affonso
Supervisora de iconografia e licenciamento de textos Elaine Bueno
Iconografia Rosa André
Licenciamento de textos Carla Marques, Vanessa Trindade
Supervisora de arquivos de segurança Silvia Regina E. Almeida
Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno
Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD
CNPJ 61.186.490/0016-33
Avenida Antonio Bardella, 300
Guarulhos-SP – CEP 07220-020
Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Giovanni Júnior, José Ruy
A conquista da matemática : 9o
ano : ensino
fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior,
Benedicto Castrucci. — 4. ed. — São Paulo : FTD,
2018.
“Componente curricular: Matemática.”
ISBN 978-85-96-01919-4 (aluno)
ISBN 978-85-96-01920-0 (professor)
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Castrucci,
Benedicto. II. Título.
18-20689 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Cibele Maria Dias – Bibliotecária – CRB-8/9427
Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610
de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à
EDITORA FTD.
Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo – SP
CEP 01326-010 – Tel. 0800 772 2300
Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970
www.ftd.com.br

Em respeito ao meio ambiente, as folhas
deste livro foram produzidas com fibras
obtidas de árvores de florestas plantadas,
com origem certificada.
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Para que serve a Matemática? Por que aprender todo esse conteúdo
de Matemática na escola? Essas são perguntas que um dia provavelmente
passaram ou vão passar por sua cabeça.
A Matemática está presente em nossas vidas, desde uma simples conta-
gem em uma brincadeira até nos modernos e complexos computadores. Ela
ajuda a decidir se uma compra deve ser paga à vista ou a prazo, a entender
o movimento da inflação e dos juros, a medir os índices de pobreza e riqueza
de um país, a entender e cuidar do meio ambiente... sem falar nas formas e
medidas, com suas aplicações na Arquitetura, na Arte e na agricultura.
Mas, apesar de estar presente em tantos momentos importantes das
nossas vidas, pode parecer, a princípio, que alguns temas da Matemática não
têm aplicação imediata, o que pode gerar certo desapontamento em você.
Na verdade, a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como
resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de certos conceitos
nela presentes. Como em todas as áreas de estudo, para entender e fazer
Matemática é necessário dedicação e estudo.
Nesta coleção, apresentamos a você as linhas mestras desse processo
com uma linguagem simples, mas sem fugir ao rigor que a Matemática exige.
Vivemos hoje em um mundo em constante e rápida transformação, e a
Matemática pode nos ajudar a entender essas transformações. Ficar à parte
do conhecimento matemático é, hoje, estar à margem das mudanças do
mundo. Então, vamos entender e fazer Matemática!
Os autores
apresentação
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16. Observe:
Quero
que vocês
desenvolvam esta
expressão.
Professor,
a resposta é
2x2
! 4xy3
" y6
.
MW
EDITORA
E
ILUSTRAÇÕES
A resposta do aluno está correta? Se não
estiver correta, dê a resposta certa.
17. Escreva na forma reduzida cada um dos
polinômios:
a) (x + 1)2
_ x + (x _ 1)2
_ 2 ? (x2
_ 1)
b) (2x + y)2
_ 6xy _ (x _ y)2
3x2
Junte-se a um colega e resolvam o
desafio a seguir.
DESAFIO
18. Qual é o polinômio que representa a
diferença (x _ y + 2)2
_ (x _ y _ 2)2
?
O polinômio procurado é 8x _ 8y.
Não. A resposta correta
é 4x2
_ 4xy3
+ y6
.
4 _ x
10. Paraobtermos(a_2b)2
,devemosacrescen-
tarumtermoaopolinômioa2
_2ab+4b2
.
Qual é esse termo? _2ab
11. O produto de dois polinômios é x2
y2
_ a6
.
Se um dos polinômios é xy _ a3
, qual é
o outro? xy + a3
12. Sabe-se que xy = 72 e x2
+ y2
= 306.
Qual é o valor de (x + y)2
? 450
13. (OBM) Se x + y = 8 e xy = 15, qual é o
valor de x2
+ 6xy + y2
? Alternativa d.
a) 64
b) 109
c) 120
d) 124
e) 154
14. (Mack-SP) Se (x _ y)2
_ (x + y)2
= _20,
então x ? y é igual a: Alternativa d.
a) _1
b) 0
c) 10
d) 5
e)
1
5
15. (Saresp-SP) A expressão algébrica que re-
presenta a situação: “o quadrado da soma
de dois números, mais 5 unidades” é:
a) x + y + 52
b) (x + y + 5)2
c) (x + y)2
+ 5
d) x2
+ y + 52
Alternativa c.
Quando se pretende comprar um produto, principalmente de alto valor, é muito
importante fazer uma pesquisa de preços, pois no mercado são consideráveis as diferenças
de preço para o mesmo item. Entretanto, em pequenas compras de supermercado, por
exemplo, também é possível economizar. O ideal é preparar uma lista dos gêneros neces-
sários, ficar atento aos preços e fazer uma pesquisa. Isso também vale para as compras
on-line, situação em que, além de pesquisar em vários sites, é importante considerar o
preço do frete.
No caso de compras em lojas físicas, o consumidor deve ficar atento e verificar se o
preço anunciado na vitrina corresponde ao valor afixado no produto. Nos supermercados,
é possível que o preço afixado na prateleira para um produto seja diferente do preço
cadastrado ou anunciado. Quando isso acontece, o consumidor tem o direito de pagar o
menor valor, conforme estabelece o Código de Proteção e Defesa do Consumidor.
• Na sua opinião, qual é a importância de fazer uma pesquisa de preços antes de realizar
uma compra? Discuta com seus colegas. Resposta pessoal.
FÓRUM
68
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Cubo da soma de dois termos
Vamos considerar o produto notável (x + y)3
. Para desenvolvê-lo, usaremos as regras já
aprendidas. Observe:
(x + y)3
= (x + y) ? (x + y)2
= propriedade das potências de mesma base
= (x + y) ? (x2
+ 2xy + y2
) = pela regra do quadrado da soma
= x3
+ 2x2
y + xy2
+ x2
y + 2xy2
+ y3
= pela multiplicação de polinômios
= x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
polinômio reduzido
Então:
(x ! y)3
" x3
! 3x2
y ! 3xy2
! y3
cubo da soma de dois termos
Cubo da diferença de dois termos
Consideremos o produto notável (x _y)3
. Observe:
(x _ y)3
= (x _ y) ? (x _ y)2
= propriedade das potências de mesma base
= (x _ y) ? (x2
_ 2xy + y2
) = pela regra do quadrado da diferença
= x3
_ 2x2
y + xy2
_ x2
y + 2xy2
_ y3
= pela multiplicação de polinômios
= x3
_ 3x2
y + 3xy2
_ y3
polinômio reduzido
Então:
(x # y)3
" x3
# 3x2
y ! 3xy2
# y3
cubo da diferença de dois termos
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Desenvolva as seguintes expressões:
a) (a + b)3
a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
b) (b _ c)3
b 3
_ 3b2
c + 3bc2
_ c3
c) (2a + 1)3
8a3
+ 12a2
+ 6a + 1
d) (1 _ 2a)3
1 – 6a + 12a2
– 8a³
e) (2x + y)3
8x³ + 12x²y + 6xy² + y³
f) (3y _ 1)3
27y³ _ 27y² + 9y – 1
2. Qual é a forma mais simples de escrever as expressões?
a) (a _ b)3
_ (a3
_ b3
) + 4ab(a _ b)
b) (2x _ y)3
_ (2x + y)3
+ 2xy(2x + y)
c) (1 _ a)3
+ 2a(_2 + a2
) + (1 _ a3
)
3a² _ 7a + 2
a2
b – ab2
_2y³ + 20x²y + 2xy²
Resoluções a
partir da p. 289
69
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Abertura de unidade
As páginas de abertura introduzem o trabalho que será desenvolvido em cada Unidade.
Nelas, você é convidado a observar textos e/ou imagens e relacioná-los com seus
conhecimentos sobre o tema ou com contextos que serão articulados pelas questões.
conheça seu livro
Atividades
Os exercícios
apresentados são
variados e visam à
prática do conteúdo
aprendido. Por vezes
você se deparará
com exercícios mais
desafiadores, inclusive o
de elaborar seus próprios
exercícios e compartilhá-
-los com seus colegas.
Você sabe o que é inflação?
Leia o texto a seguir.
A inflação, tecnicamente, é representada por um índice que
mede como os preços, de maneira geral, estão variando na econo-
mia. Essa variação é representada em porcentagem e diz respeito
à média dos preços em determinado período [...] “variação média
dos preços”, ou seja, de vários produtos, e não de um só[...].
Por exemplo, se a inflação do mês de junho foi de 0,79%, quer
dizer que os preços, em média, aumentaram 0,79% entre esse mês
e o anterior. Outro exemplo: se a inflação de 2014 foi de 6,75%,
então houve aumento médio acumulado de 6,75% entre o primeiro
e o último dia do ano.
E os preços não sobem de maneira uniforme na economia:
alguns produtos ficam mais caros e outros continuam custando
mais ou menos o mesmo. Algumas coisas ficam até mais baratas.
[...]
Fonte: POR QUÊ? ECONOMÊS EM BOM PORTUGUÊS. O que é inflação?
Disponível em: .
Acesso em: 9 nov. de 2018.
Porcentagem,
probabilidade e
estatística
6
KHONGTHAM/SHUTTERSTOCK.COM
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Com base no texto e no gráfico, converse com os colegas e o professor para
responder às questões a seguir.
• O que você sabe sobre inflação? Como você explicaria que o preço de um produto
sofreu inflação em um período?
• Observando o gráfico do IPCA acumulado nesse período, qual foi a inflação veri-
ficada no mês de novembro de 2017?
• Nesse período, a maior variação do IPCA ocorreu entre quais meses consecutivos?
De quanto foi essa variação?
Respostas pessoais. Resposta possível: Se um produto sofreu
inflação, então seu valor aumentou neste período.
2
3
4
5
Percentual
(%)
O
u
t
.1
7
N
o
v
.1
7
D
e
z
.1
7
J
a
n
.1
8
F
e
v
.1
8
M
a
r.
1
8
A
b
r.
1
8
M
a
io
1
8
J
u
n
.1
8
J
u
l.
1
8
A
g
o
.1
8
s
e
t
.1
8
Gráfico – IPCA Acumulado últimos 12 meses
Acumulado (%)
2.8
2.95 2.86 2.84
2.68 2.76 2.86
4.39 4.48
4.19
4.53
2.7
Um dos índices que medem
a variação média dos preços dos
produtos é o IPCA (Índice de
Preços ao Consumidor Amplo),
calculado pelo IBGE. Observe o
gráfico do IPCA acumulado no
período de outubro de 2017 a
setembro de 2018.
EDITORIA
DE
ARTE
Fonte: ÍNDICES E INDICADORES. Gráfico IPCA acumulado últimos
12 meses. Disponível em: ipca/>. Acesso em: 8 nov. 2018.
Como em outubro de 2017 a inflação estava
acumulada em 2,7% e em novembro estava
acumulada em 2,8%, podemos entender que a
inflação de novembro foi de 2,8% – 2,7% = 0,1%.
A maior alta ocorreu entre os meses de maio e junho de 2018.
A inflação do período foi de 4,49% – 2,86% = 1,63%.
175
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Fórum
Traz questões
para debate,
em que você
e os colegas
poderão praticar
estratégias de
argumentação.
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/18 17:48
Equações completas
O processo de completar quadrados
Com base na interpretação geométrica
dada pelos gregos à expressão (a + b)2
, o mate-
mático al-Khwarizmi estabeleceu um processo
geométrico para a resolução de equações do
2o
grau com uma incógnita. Inicialmente, vamos
observar a figura que é a representação geomé-
trica da expressão (a + b)2
:
1. Mariana recortou, em cartolina, um quadrado e quatro retângulos como estes a
seguir (as medidas são dadas em centímetros).
3
3
3
1
3
1
3
1
3
1
Usando o quadrado e os quatro retângulos, Mariana
formou a figura ao lado.
Agora, partindo dessa figura, Mariana quer formar
um novo quadrado. Para isso, terá de acrescentar
quadradinhos à figura.
Responda no caderno:
a) De quantos quadradinhos ela vai precisar? 4
b) Qual deve ser a área de cada um desses quadradinhos?
c) Qual será a área do novo quadrado? 25
1
pense e responda Resoluções a partir da p. 289
a2
b2
ab
ab
a
a
b
a b
b
a
b
ALBERTO
LLINARES
Matemático
e astrônomo
árabe,
al-Khwarizmi
viveu entre
780 e 850.
Ele escreveu
um tratado
de Álgebra e
um livro sobre
os numerais
hindus.
Essas obras
exerceram
enorme
influência na
Europa do
século XII.
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3 3
3
ILUSTRAÇÕES:
EDITORIA
DE
ARTE
94
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4
CAPÍTULO
ELABORANDO
UMA PESQUISA
Você já observou que há diferentes tipos de pesquisa? Nem todas as pesquisas
utilizam conhecimentos estatísticos como, por exemplo, quando você pesquisa um
assunto (em diversas fontes confiáveis) para compor um trabalho escolar. No entanto,
as pesquisas em estudos estatísticos são muito importantes, pois fornecem dados
que, depois de organizados e analisados, podem nortear planejamentos de mudan-
ças acerca do assunto pesquisado.
Em nosso dia a dia, são muito comuns pesquisas de opinião (servem para
apontar informações sobre produtos e serviços utilizados pelo público, opiniões
de pessoas sobre determinado assunto etc.) e pesquisas de mercado (servem para
conhecer o perfil do cliente, perceber estratégias de concorrentes, analisar forne-
cedores, entre outros).
Uma pesquisa pode coletar dados de toda a população estatística, ou seja,
coletamos os dados de todos os indivíduos de interesse, como acontece no Censo.
No Brasil, o Censo Demográfico ocorre normalmente de 10 em 10 anos e todas as
residências do Brasil são entrevistadas.
Na maioria das pesquisas, no entanto, os dados são coletados em uma amostra
(grupo representativo da população). Nesse caso, dizemos que é uma pesquisa por
amostragem. Para esse tipo de pesquisa fazemos um estudo prévio dos indiví-
duos de interesse e os separamos em grupos com afinidades como, por exemplo:
crianças, jovens, adultos e idosos; ou estudantes, desempregados, trabalhadores
e aposentados.
Para que possamos extrapolar os dados e conclusões obtidas no estudo da
amostra para a população de interesse, ela deve ser uma amostra significativa.
A escolha do tamanho da amostra para que ela
seja confiável depende de vários fatores: tamanho da
população, margem de erro que se deseja, nível de
confiabilidade, entre outros.
Por exemplo, para um universo de 10 000 indivíduos
(população) e margem de erro de 5%, precisamos de
uma amostra com no mínimo cerca de 400 indivíduos.
SAIBA QUE
De modo simplificado, os passos de uma pesquisa são:
• levantamento dos objetivos e determinação da população;
• coleta e organização dos dados;
• construção de tabelas e gráficos;
• leitura e interpretação dos gráficos;
• registro das conclusões.
BAKHTIA
R ZEIN/
SHUTTER
STOCK.C
OM
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Aplicando o teorema de Pitágoras
no quadrado
Aplicando o teorema de Pitágoras no quadrado, podemos estabelecer uma relação impor-
tante entre a medida da diagonal e a medida do lado do quadrado. No quadrado ABCD, l é
a medida do lado, e d, a medida da diagonal. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo ABC, podemos escrever:
d2
= l2
+ l2
d2
= 2l2
(l > 0)
d = 2 2
l
d = l 2
Acompanhe as situações a seguir.
1 Quanto mede a diagonal do quadrado abaixo?
C
D
8 cm 8 cm
8 cm
8 cm
B
A
d
Pela expressão vista anteriormente, temos d = l 2 . Substituindo l por 8, temos d = 8 2 .
Logo, a medida da diagonal desse quadrado é 8 2 cm.
2 A diagonal de um quadrado mede 10 cm. Quanto mede o lado l desse quadrado?
Pela situação, temos d = 10 cm.
Substituindo na expressão d = l 2 , temos:
10 = l 2 h l 2 = 10 h l =
10
2
h l =
10 2
2
h l = 5 2
Logo, o lado desse quadrado mede 5 2 cm.
Os peregrinos (coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egídio
Trambaiolli Neto. Editora FTD, 1998. Um grupo de adolescentes precisa resolver um grande desafio:
evitar um cataclisma, que ameaça extinguir toda a vida terrestre.
DESCUBRA MAIS
ILUSTRAÇÕES:
EDITORIA
DE
ARTE
C
D
B
A
d
l
l
l
l
206
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8. Na representação em escala a seguir,
os quadrados são iguais, e cada centí-
metro representa 100 km. Um avião sai
da cidade A, faz uma parada para abas-
tecer na cidade C e chega à cidade B,
conforme a figura. Alternativa e.
6 cm
12 cm
A
C
B
Das alternativas dadas, assinale o valor
mais próximo da distância percorrida
pelo avião, de A até B, passando por C.
a) 1 000 km
b) 950 km
c) 1 150 km
d) 1 400 km
e) 1 250 km
9. Um segmento OA descreve um arco de
30° em torno do ponto O, como indica
a figura a seguir.
30° A
O
Se a medida do segmento OA é 5 cm, e
adotando p = 3, qual é a distância per-
corrida pelo ponto A? Alternativa a.
a) 2,5
b) 5,5
c) 1,7
d) 3,4
e) 4,5
10. Uma pessoa que sai do ponto A e vai
até o ponto B, seguindo o arco )AB, con-
forme esquema a seguir, percorre que
distância? (Considere p = 3.)
120°
O
360 m 360 m
A B
a) 600 m
b) 630 m
c) 700 m
d) 720 m
e) 750 m
Alternativa d.
Nas relações métricas do triângulo retângulo estudadas nesta Unidade, conhecemos
o teorema de Pitágoras e alguns aspectos históricos que o envolvem, além de suas aplica-
ções, e complementamos os estudos com outras relações métricas do triângulo retângulo.
Estudamos ainda a circunferência, o cálculo do comprimento de uma circunferência, um
pouco da história do número p e as relações métricas na circunferência.
Na abertura, vimos uma aplicação do teorema de Pitágoras em uma situação que implica
medidas inacessíveis, que são calculadas por meio de triângulos. Vamos retomar as apren-
dizagens desta Unidade e refletir respondendo às questões a seguir no caderno.
• Dentre as diversas demonstrações para o teorema de Pitágoras, pesquise uma delas e
registre a diferença entre a demonstração encontrada e a exposta nesta Unidade.
• As relações métricas são obtidas utilizando triângulos semelhantes. Como podemos jus-
tificar a semelhança desses triângulos?
• Na abertura desta Unidade, vo...

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