Determine o número de diagonais de um polígono regular cujo o ângulo externo do mesmo mede 30

Em um polígono, quanto maior é o número de lados, maior é a medida dos ângulos internos.

Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos também aumenta. Veja:

Em um quadrilátero, conseguimos formar dois triângulos.

Considerando que, em cada triângulo, a soma dos ângulos internos iguais é 180°, a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 2·180º = 360º.

Em um polígono de cinco lados (pentágono), formamos três triângulos.

Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 180º·3 = 540º

Em um polígono de seis lados (hexágono), formamos quatro triângulos.

Portanto, a soma dos ângulos internos é 4·180º = 720º.

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então, concluímos que:

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• n = 3

Si = (3 – 2)·180º = 1·180° = 180°

• n = 4

Si = (4 – 2)·180° = 2·180° = 360°

• n = 5

Si = (5 – 2)·180° = 3·180° = 540°

• n = 6

Si = (6 – 2)·180° = 4·180° = 720°

• n = n

Si = (n – 2)·180°

Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono é calculada pela expressão:

Si = (n – 2)·180°

Caso queira calcular o valor de cada ângulo interno, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono. Vale lembrar que essa fórmula só deve ser utilizada em polígonos regulares, pois eles possuem os ângulos internos iguais.

ai = Si
     n

Soma dos ângulos externos de um polígono regular

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°.

Obs.: A soma de um ângulo interno com o seu respectivo externo é igual a 180º, isto é, eles são suplementares.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática 

O polígono que possui o mesmo número de diagonal e de lados é um:

A) triângulo.

B) quadrilátero.

C) pentágono.

D) hexágono.

E) dodecágono.

Julgue as afirmativas a seguir:

I → Todo polígono possui diagonal.

II → A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.

III → O dodecágono é um polígono de 12 lados.

Marque a alternativa correta:

A) Todas as afirmativas são verdadeiras.

B) Somente a afirmativa I é falsa.

C) Somente a afirmativa II é falsa.

D) Somente a afirmativa III é falsa.

E) Todas as afirmativas são falsas.

A face superior de uma determinada peça de um automóvel possui formato de um polígono regular que possui ângulos internos medindo 120º cada. Sendo assim, podemos afirmar que o número de lados que essa face possui é igual a

A) 4.

B) 5.

C) 6.

D) 7.

E) 8.

Em um determinado polígono, o número de diagonais é igual a oito vezes o número de lados, então, esse polígono é o:

A) eneadecágono

B) dodecágono

C) icoságono

D) decágono

E) octógono

Durante a elaboração de móveis planejados, um marceneiro recebeu uma encomenda para que fosse feita uma mesa de madeira idêntica à da imagem a seguir:

Ao analisar o polígono que forma a face superior da mesa, a soma dos seus ângulos internos é igual a:

A) 540°

B) 720°

C) 800°

D) 1080°

E) 360°

Os ângulos internos de um pentágono medem 2x – 10, 4x + 10, 3x + 10, 6x + 30 e 5x. Então, podemos afirmar que a medida do menor ângulo desse polígono é:

A) 40º

B) 45º

C) 50º

D) 55º

E) 62º

(Excelência 2018) Ana ganhou um presente em forma de polígono e só poderia abrir se descobrisse quantos lados têm esse polígono. Sabendo que a soma dos ângulos internos desse polígono é igual a 2340º, quantos lados têm esse polígono?

A) 20 lados

B) 15 lados

C) 10 lados

D) nenhuma das alternativas

Em um polígono regular, a soma dos ângulos internos é 1620º. Então, o número de diagonais que esse polígono tem é:

A) 11

B) 22

C) 35

D) 44

E) 58

No polígono a seguir, sabendo que ele é regular, o valor do ângulo α é:

A) 20º

B) 30º

C) 35º

D) 40º

E) 45º

(PUC-RJ) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x – 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O menor ângulo mede:

A) 90°

B) 65°

C) 45°

D) 105°

E) 80°

Classifique os polígonos a seguir como côncavo ou convexo:

Os polígonos são, respectivamente:

A) convexo, convexo, côncavo e côncavo.

B) côncavo, convexo, côncavo e convexo.

C) convexo, convexo, convexo e côncavo.

D) côncavo, côncavo, convexo e convexo.

E) côncavo, côncavo, côncavo e convexo.

Sobre os polígonos, julgue as afirmativas a seguir:

I → Um polígono é uma figura plana fechada por poligonais.

II → O círculo é um exemplo de polígono.

III → O segmento que liga dois vértices de um polígono é conhecido como diagonal.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

E) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Alternativa C
Encontraremos o polígono em que n = d. Utilizando a fórmula da diagonal:

O polígono que possui 5 lados é o pentágono.

Alternativa B

I → falsa

O triângulo não possui diagonal.

II → verdadeira

Calculando a soma dos ângulos internos de um quadrilátero:

Si = (n – 2) · 180º

Si = (4 – 2) · 180º

Si = 2 · 180º

Si = 360º

III → verdadeiro

Dodecágono é o nome dado para um polígono de 12 lados.

Alternativa C

Sabemos que a soma dos ângulos internos dividida pela quantidade de lados é 120º.

Alternativa A

Temos que n = 8d. Utilizando a fórmula da diagonal, temos que:

O polígono com 19 lados é um eneadecágono.

Alternativa D

Como o polígono da face da mesa possui 8 lados, então, temos que:

Si = (n – 2) · 180°

Si = (8 – 2) · 180°

Si = 6 · 180°

Si = 1080°

Alternativa A

A soma dos ângulos internos de um pentágono pode ser calculada por:

Si = (n – 2) · 180°

Si = (5 – 2) · 180°

Si = 3 · 180°

Si = 540°

Sabendo que a soma dos ângulos internos é 540°, então, temos que:

2x – 10 + 4x + 10 + 3x + 10 + 6x + 30 + 5x = 540

20x + 40 = 540

20 x = 540 – 40

20x = 500

x = 500 : 20

x = 25

Sabendo que x = 25, o menor ângulo é 2x – 10:

2 · 25 – 10 = 50 – 10 = 40º

Alternativa B

Sabemos que Si = 2340.

Então, temos que:

Alternativa D

Primeiro encontraremos o número de lados desse polígono:

Como esse polígono possui 11 lados, calcularemos agora o número de diagonais:

Alternativa E

Sabemos que o ângulo externo é suplementar ao ângulo interno, ou seja, a soma dos dois é igual a 180º. Primeiro encontraremos o valor do ângulo interno. Como esse polígono possui 8 lados, então, temos que:

Si = (n – 2) · 180º

Si = (8 – 2) · 180º

Si = 6 · 180º

Si = 1080º

Como se trata de um polígono regular, para encontrar a medida de cada ângulo, basta dividir 1080 : 8 = 135º.

Se um ângulo interno mede 135º, então, o seu suplementar mede α = 180 – 135 = 45º.

Alternativa B

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º, então, temos que:

Então, os ângulos são:

3x – 45 = 3 · 45 – 45 = 90

2x + 10 = 2 · 45 + 10 = 100

2x + 15 = 2 · 45 + 15 = 105

x + 20 = 45 + 20 = 65

O menor ângulo mede 65º.

Alternativa D

Analisando os polígonos, temos que:

I → côncavo

II → côncavo

III → convexo

IV → convexo

Alternativa A

I → Verdadeira, pois essa é a definição de polígono.

II → Falsa, a circunferência não é fechada por poligonais, portanto, não é considerada um polígono.

III → Falsa, pois somente segmentos que ligam dois vértices não consecutivos formam diagonais.
Caso os vértices sejam consecutivos, o segmento formará um lado do polígono.

Qual polígono regular possui 30º como ângulo externo?

Qual é o polígono regular em que o ângulo central mede 30?

Como calcular o número de diagonais de um polígono regular?

Qual o número de diagonais de um polígono regular cujo ângulo externo mede 18?