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TeoriaIntroduçãoFalaaa meus queridos, tudo certo!? Nesse tópico vamos entender melhor o que é uma Função do 1º Grau e como ela se comporta graficamente. Mas antes de falar disso precisamos nos fazer uma perguntar: “O que é uma função?” Na maioria das vezes, a primeira coisa que vem na nossa cabeça quando falamos de funções são aquelas notações comuns: f x = 3 x + 2 g x = 8 x 2 + 3 x h x = 5 x 3 + 2 x 2 + 5 Mas o que realmente significa ser uma função? Para responder isso vamos dizer que uma função “ g” é dada por g x = 2 x + 1. Quando escrevemos g ( x ) queremos dizer que a função “ g” varia conforme o valor de “ x” também varia. Ou seja, para x = 1, a função será: g 1 = 2 ∙ 1 + 1 g 1 = 2 + 1 g 1 = 3 Para x = 2: g 2 = 2 ∙ 2 + 1 g 2 = 4 + 1 g 2 = 5 E assim por diante... Percebeu? Conforme os valores de “ x” mudam, o valor da g ( x ) também muda, logo g está em função de “ x”. Função do 1º Grau ou Função AfimJá demos uma relembrada nos conceitos de funções. Mas como identificar uma função do 1º grau? A lei de formação é dada por: y = a x + b Onde: a → coeficiente angular. b →coeficiente linear. Obs: y é o mesmo que f ( x ) , g ( x ), h ( x )... QUE?????? Relaaxa!! Com um exemplo tudo fica mais fácil... Olhe essa função: f x = 3 x + 2 Nesse caso: y = f x ; a = 3; b = 2. Ok, mas pra que serve esses coeficientes? Eles são importantes quando queremos estudar o comportamento gráfico das funções. Gráfico da Função do 1º GrauGrave isso: “O gráfico de uma função afim sempre será um RETA!!!” E agora, os valores de a e de b serão muito úteis para entendermos esses gráficos. a (coeficiente angular) – Será a inclinação da reta. b (coeficiente linear) – Será o valor em que a função cruza o eixo y. Mas como eu consigo montar um gráfico de uma função afim? Como o gráfico da função afim é uma reta, basta que nós encontremos dois pontos por onde a reta passa e traçar a reta passando por eles. ExemploVamos esboçar o gráfico da função f x = 3 x + 2. Primeiramente, precisamos achar dois pontos que pertençam à reta. Esses pontos podem ser encontrados substituindo qualquer valor para x, porém, para facilitar os cálculos, podemos escolher x = 0 e x = 1. Para f ( 0 ), temos: f 0 = 3 ∙ 0 + 2 f 0 = 0 + 2 f 0 = 2 Para f ( 1 ), temos: f 1 = 3 ∙ 1 + 2 f 1 = 3 + 2 f 1 = 5 Desse modo, encontramos dois pontos que pertencem à reta, dados pelos pares ordenados P ( 0,2 ) e P ( 1,5 ): Por fim, como já temos dois pontos por onde a reta passa, precisamos apenas traça-la passando por esses dois pontos: E está feito nosso gráfico da função f x = 3 x + 2. Raiz de uma Função do 1º GrauEm uma reta que se estende por todos os reais R, o eixo y terá em algum momento valor igual a zero. Esse ponto ocorre graficamente quando a reta cruza o eixo x. Mas como achar o valor da raiz? Em uma reta f x = a x + b, f ( x ) representa o eixo y. Dessa forma, se acharmos um valor de x que faça com que f x = 0, esse será a raiz da função. Exemplo: Encontre a raiz da função f x = 3 x + 9 Primeiramente, igualamos a função a zero. 3 x + 9 = 0 Agora é só resolver... 3 x = - 9 x = - 9 3 x = - 3 E está aí, a reta cruza o eixo x em x = - 3, logo, x = - 3 é a raiz da função. Tranquilasso né!? Função do 1º Grau ou Função AfimGráfico da Função do 1º GrauExemploRaiz de uma Função do 1º GrauExercício Resolvido #1Autoria própria. Determine o coeficiente linear da função f x = 3 x - 2. Passo 1Pela lei de formação, temos que: y = a x + b Onde: a → Coeficiente angular. b → Coeficiente linear. Sendo assim na função f x = 3 x - 2 a = 3 b = - 2 RespostaExercício Resolvido #2Autoria própria. Encontre a raiz da função g x = 3 x - 21 Passo 1Primeiramente, devemos igualar a equação a zero. 3 x - 21 = 0 Resolvendo a equação, temos: 3 x - 21 = 0 3 x = 21 x = 21 3 x = 7 RespostaExercício Resolvido #3Autoria própria. Qual é o valor da função f x = 12 x + 17 para x = 1 2 . a) 21 b) 17 c) 25 d) 23 e) 19 Passo 1Tudo que precisamos fazer aqui é substituir o valor de x na função. f 1 2 = 12 x + 17 f 1 2 = 12 ∙ 1 2 + 17 f 1 2 = 6 + 17 f 1 2 = 23 RespostaExercício Resolvido #4Autoria própria. Determine a função afim f ( x ) = a x + b, sabendo que f 2 = 6 e f - 1 = 0 Passo 1Pelo enunciado, temos que f 2 = 6, logo: 2 a + b = 6 Também sabemos que f - 1 = 0, logo: - a + b = 0 Como chegamos em duas equações com termos iguais, podemos montar um sistema. 2 a + b = 6 - a + b = 0 Isolando b na segunda equação, temos: - a + b = 0 b = a Passo 2Substituindo o valor encontrado na primeira equação, conseguimos achar o valor de a. 2 a + b = 6 2 a + a = 6 3 a = 6 a = 6 3 a = 2 Como a = b, o valor de b também será igual a 2. Com os valores de a e b conseguimos determinar a função. f x = 2 x + 2 RespostaExercício Resolvido #5(U. Católica de Salvador-BA). Seja a função f de R em R definida por f x = 54 x + 45, determine o valor de f 2.541 - f ( 2.540 ). Passo 1Você pode encontrar esse resultado de duas maneiras. 1º Caso Substituindo os valores em x e depois subtraindo: X = f 2.541 - f ( 2.540 ) X = 54 ∙ 2.541 + 45 - ( 54 ∙ 2.540 + 45 ) X = 137.259 - ( 137.205 ) X = 54 Passo 22º Caso Podemos pensar que f ( 2.541 ) é uma unidade maior que f ( 2.540 ). Sendo assim, não importa quais valores pegarmos, desde que q tenham a mesma proporção. Exemplo: f 1.000 - f ( 999 ) f 436 - f ( 435 ) f 38 - f ( 37 ) Para facilitar as contas podemos escolher x = 1 e x = 0, e assim teremos: X = 54 ∙ 1 + 45 - 54 ∙ 0 + 45 X = 54 + 45 - ( 45 ) X = 54 RespostaExercício Resolvido #6(U. F. Viçosa-MG). Uma função f é dada por f x = a x + b, em que a e b são números reais. Se f - 1 = 3 e f 1 = - 1, determine o valor de f ( 3 ). Passo 1Para f ( - 1 ) a função vale 3. Logo: - a + b = 3 Para f ( 1 ) a função vale - 1. Logo: a + b = - 1 Como temos termos semelhantes, podemos montar um sistema de equações e descobrir os valores de a e b. - a + b = 3 a + b = - 1 Isolando a na segunda equação temos: a + b = - 1 a = - 1 - b Substituindo na primeira equação, conseguimos encontrar o valor de b. - a + b = 3 - - 1 - b + b = 3 CUIDADO COM O SINAL!!! 1 + b + b = 3 2 b = 3 - 1 2 b = 2 b = 2 2 b = 1 Substituindo o valor de b na segunda equação, conseguimos achar o valo de a. a + b = - 1 a + 1 = - 1 a = - 1 - 1 a = - 2 Passo 2Com os valores de a e b encontrados, podemos definir a função. f x = - 2 x + 1 Para x = 3, temos: f 3 = - 2 ∙ ( 3 ) + 1 f 3 = - 6 + 1 f 3 = - 5 RespostaExercício Resolvido #7Elaboração Própria. Esboce os seguintes gráficos:
Passo 1a) f x = 1 2 x Para montar o gráfico de uma função afim, precisamos de 2 pontos para formar uma reta. Ou seja, escolhemos 2 valores para x e descobrimos o valor de f x . f x = 1 2 x Note que b = 0, mas mesmo assim continuamos tendo uma função afim. Vamos agora escolher dois valores de x. Para x = 0: f 0 = 1 2 0 f 0 = 0 Para x = 2: f 2 = 1 2 2 f 2 = 1 Assim, os pontos ( 0 , 0 ) e 2 , 1 pertencem a nossa reta: Agora é só traçar a reta que contém esses dois pontos: Pronto esse é o nosso gráfico. Passo 2b) f x = - 2 x + 5 Novamente, vamos pegar dois valores de x e calcularemos f ( x ) para esses valores: Para x = 0: f 0 = - 2 0 + 5 f 0 = 5 Para x = 1: f 1 = - 2 1 + 5 f 1 = - 2 + 5 f 1 = 3 Assim, temos os pontos ( 0 , 5 ) e ( 1 , 3 ): Agora, traçando a reta, temos que nosso gráfico é: Respostaa) b) Exercício Resolvido #8DANTE, Luiz Roberto. Matemática- contexto e aplicações. ED. Renovada. São Paulo, SP: ática, 2010. pp.121 Determine o valor de m para que os gráficos da função f x = 2 x + m - 3:
Passo 1
Na qual b é o coeficiente linear, ou seja, o valor que intercepta o eixo y no nosso gráfico. Nesse casso queremos que intercepte no valor ( 0,5 ) x = 0 e y = 5 Assim queremos que b = 5 Na nossa funçãozinha temos : f x = 2 x + m - 3 Nosso coeficiente linear nesse caso é : b = m - 3 = 5 m - 3 = 5 m = 5 + 3 m = 8 Assim, para que intercepte o eixo y m = 8 Passo 2x , y O primeiro valor corresponde ao valor de x e o segundo de y. Feito isso, queremos: ( 3,0 ) O valor de x = 3 e y = 0 Vamos substituir esse valor na nossa funçãozinha: f x = 2 x + m - 3 Lembrando que f x = y y = 2 x + m - 3 0 = 2 3 + m - 3 0 = 6 - 3 + m 0 = 3 + m m = - 3 Resposta
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Qual é o gráfico da função y 2x 1?a) y = 2x + 1 é uma função afim, pois a = 2 e b = 1. b) y = 2x é uma função afim, pois a = 2 e b = 0. Como a função afim possui a mesma lei de formação das funções do primeiro grau vistas no Ensino Fundamental, o seu gráfico é igual ao gráfico da função do primeiro grau: uma reta.
Como construir um gráfico?Criar um gráfico. Selecione dados para o gráfico.. Selecione Inserir > Gráficos Recomendados.. Selecione um gráfico na guia Gráficos Recomendados para visualizá-lo. ... . Selecione um gráfico.. Selecione OK.. |