O produto da soma pela diferença de dois termos

Produtos notáveis são representados pelo produto de expressões algébricas. São polinômios que aparecem com certa frequência, cujo cálculo pode ser desenvolvido de forma mais rápida ao se utilizar certas regras para a fatoração. O termo “notável” é devido a sua importância dentro do cálculo algébrico.

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“Um polinomio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma: anxn + an-1 xn-1 + … + a1x + a0” (Demana et al., 2009, pg. 23)

Quadrado da soma de dois termos

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

(x + y)2 = x2 + 2.x.y + y2

Exemplo:

(x+3)2 = x2+6x+9

Quadrado da diferença de dois termos

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

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(x – y)2 = x2 – 2.x.y + y2

Exemplo:

(x-3)2 = x2-6x+9

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Produto da soma pela diferença de dois termos

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

(x + y) . (x – y) = x2 – y2

Exemplo:

(x+3) . (x-3) = x2-9

Cubo da soma de dois termos

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo termo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.

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(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3

Exemplo:

(x+2)3 = x3+6x2+12x+8

Cubo da diferença de dois termos

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo.

(x – y)3 = x3 – 3x2 y + 3xy2 – y3

Exemplo:

(x-2)3 = x3-6x2+12x-8

Referências

DEMANA, F. D; WAITS, B. K.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D. Pré cálculo. São Paulo : Addison Wesley, 2009.

CAMINHA, A. Tópicos de Matemática Elementar, Volume 1: Números Reais. Rio de Janeiro: Editora S.B.M., 2013.

Por Carlos Ferreira

Formado em Ciências Econômicas e Jornalismo. Possui ampla experiência editorial e redacional em conteúdos jornalísticos com foco em mídias digitais.

• Questões
• Respostas

1. (IBMEC/2004) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:

a) a diferença dos quadrados dos dois números.

b) a soma dos quadrados dos dois números.

c) a diferença dos dois números.

d) ao dobro do produto dos números.

e) ao quádruplo do produto dos números.

2. (TRT/2011) Indagado sobre o número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, respondeu:

– O número de processos que arquivei é igual a (12,25)^2-(10,25)^2

Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que:

a) 38 < X < 42

b) X > 42

c) X < 20

d) 20 < X < 30

e) 30 < X < 38

1. [e]

Considerando que x e y como reais, o quadrado da soma de x e y é representado por (x + y)2 e o quadrado da diferença é representado por (x – y)2. Portanto, a diferença entre eles é:

(x + y)2 – (x – y)2

Ao desenvolver o quadrado da soma e da diferença através das propriedades de produtos notáveis, teremos:

x2 + 2xy + y2 – (x2 – 2xy + y2)

x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2

2xy + 2xy

4xy

Ao desenvolver a diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números x e y, obtivemos 4xy – o quádruplo do produto dos números.

2. [b]

Temos que o produto da soma pela diferença de dois termos pode ser vista como:

(a + b) . (a – b)

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

a.a – a.b + b.a – b.b

a2 – ab + ab – b2

a2 – b2

Então, se:

x = 12,252 – 10,252

x = (12,25 + 10,25) . (12,25 – 10,25)

x = 22,5 . 2

x = 45

Sendo que x é o número total de processos, e x = 45, então a alternativa correta é letra b, pois x > 42.