Qual a probabilidade de que em 3 nascimento nasçam pelo menos 2 homens?

O método binomial é muito utilizado em situações nas quais ocorre o produto de probabilidades.
Vamos analisar um casal que deseja ter 4 filhos, e calcular a probabilidade de nascerem todos do mesmo sexo. Observe:

As possibilidades de se ter um menino ou uma menina são iguais, portanto:

p(M) = 1/2
p(F) = 1/2

1ª possibilidade – Todos os filhos meninos
(1/2)* (1/2)* (1/2)* (1/2) = 1/16

2ª possibilidade – Todos os filhos meninas
(1/2)* (1/2)* (1/2)* (1/2) = 1/16

Portanto, as possibilidades são iguais a 1/16 ou 6,25%.

Exemplo 1

Um casal deseja ter dois filhos e quer saber quais as possíveis possibilidades de nascer: (M,M), (MF), (FM), (FF). Considerando M para menino e F para menina.

Obs.: p(M) = p e p(F) = q

Possibilidade – dois Meninos

p(MM) = p(M) * p(M) = p * p = p² = (1/2)² = 1/4 = 25%

Possibilidade – um menino e uma menina

p(MF) = p(M) * p(F) = p * q = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 25%

Possibilidade – uma menina e um menino

p(FM) = p(F) * p(M) = q * p = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 25%

Possibilidade – duas meninas

p(FF) = p(F) * p(F) = q * q = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 25%

Não considerando a ordem dos nascimentos, podemos representar da seguinte forma:

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Resultados possíveis
{MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF}

Considerando a ordem dos nascimentos temos:

p(MMM) = p(M) * p(M) * p(M) = p * p * p = p³

p(MMF) = p * p * q = p² * q

p(MFM) = p * q * p = p²q

p(FMM) = q * p * p = p²q

p(MFF) = p * q * q = pq²

p(FMF) = q * p * q = q²p

p(FFM) = q * q * p = pq²

p(FFF) = q * q * q = q³

Caso não consideremos a ordem dos nascimentos, as possibilidades se reduzem a:
MMM, MMF, MFF e FFF, as probabilidades serão as seguintes:

p(MMM) = p³ = (1/2)³ = 1/8 = 12,5%

p(MMF) = 3p²q = 3 * (1/2)² * 1/2 = 3/8 = 37,5%

p(MFF) = 3pq² = 3 * 1/2 * (1/2)² = 3/8 = 37,5%

p(FFF) = q³ = (1/2)³ = 1/8 = 12,5%

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Probabilidade - Matemática - Brasil Escola