Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e BinomialVer Teoria Show
EnunciadoEstabeleça as condições exigidas para se aplicar a distribuição binomial?Qual é a probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta?Qual é a probabilidade de menos que 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta?Passo 1Respondendo essa primeira pergunta aí! Nós vimos que a distribuição binomial vai ser válida para toda vez que que existerem n tentativas de um evento que tem somente dois resultados possíveis, um de sucesso, e outro de fracasso. Não podemos esquecer que essas n tentativas devem ser independentes, que os eventos de sucesso e fracasso são mutuamente exclusivos e que a probabilidade p de sucesso deve ser constante. Passo 2Denonando cara como um sucesso, sabemos que a probabilidade de sucesso p é: p = P K = 1 2 = 0,5 Se temos 5 lançamentos... n = 5 Agora lembrando da fórmula da Binomial: P X = k = n k p k 1 - p n - k Queremos descobrir a probabilidade de termos 3 caras, então: P X = 3 = 5 3 0,5 3 1 - 0,5 5 - 3 = 5 ! 3 ! × 5 - 3 ! × 0,03125 = 0,3125 Passo 3Agora nós queremos: P ( X < 3 ) Mas isso aí nada mais é que: P X < 3 = P X = 2 + P X = 1 + P ( X = 0 ) Aplicando a fórmula da binomial para cada uma dessas três probabilidades e somando: P X < 3 = 5 2 0,5 2 1 - 0,5 5 - 2 + 5 1 0,5 1 1 - 0,5 5 - 1 + 5 0 0,5 0 1 - 0,5 5 - 0 P X < 3 = 0,3125 + 0,15625 + 0,03125 = 0,5 RespostaExercícios de Livros RelacionadosUma vez que nem todos os passageiros de aviões comparecem na Ver Mais Se X ~ b ( n ,p ) , prove que E X = n p eV a r ( X ) = n p q Ver Mais A variável aleatória X tem uma distribuição binomial, com n= Ver Mais Um produto eletrônico contém 40 circuitos integrados. A prob Ver Mais Ver Também Ver tudo sobre Probabilidade e EstatísticaVer tudo sobre Variáveis AleatóriasLista de exercícios de Distribuição de Bernoulli e BinomialGrátis 6 pág. 
Pré-visualização | Página 1 de 2Exercícios Resolvidos da Distribuição Binomial Bertolo Página 1 1. a. Estabeleça as condições exigidas para se aplicar a distribuição binomial? b. Qual é a probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta? c. Qual é a probabilidade de menos que 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta? Solução a. A distribuição binomial é usada para encontrar a probabilidade de X números de ocorrências ou sucessos de um evento, P(X), em n tentativas do mesmo experimento quando (1) existirem somente 2 resultados mutuamente exclusivos, (2) as n tentativas são independentes, e (3) a probabilidade de ocorrência ou sucesso, p, permanece constante em cada tentativa b. ܲሺܺሻ ൌ ݊ܥሺ1 െ ሻି ൌ ൫൯ሺ1 െ ሻି ൌ ! !ሺିሻ! ሺ1 െ ሻି Em muitos livros, 1 – p(a probabilidade de fracasso) é definida como q. Aqui n = 5, X = 3, p = ½, e q = ½. Substituindo estes valores na equação acima, obtemos: ܲሺ3ሻ ൌ 5! 3! ሺ5 െ 3ሻ! ൬ 1 2 ൰ ଷ ൬ 1 2 ൰ ହିଷ ൌ 5! 3! 2! ൬ 1 2 ൰ ଷ ൬ 1 2 ൰ ଶ ൌ 5.4.3.2.1 3.2.1.2.1 ൬ 1 2 ൰ ହ ൌ 10 ൬ 1 32 ൰ ൌ 0,3125 No Excel poderíamos construir uma planilha para resolver este item do problema assim: Você poderia também usar o procedimento que desenvolvemos em Javascript para a realização deste cálculo. Assim 1 2 3 4 5 6 A B C Dados Descrição 3 O número de tentativas bem-sucedidas 5 O número de tentativas independentes 0,5 A probabilidade de sucesso em cada tentativa Fórmula Descrição (resultado) 0,312500 <--=DISTRBINOM(A2;A3;A4;FALSO) A probabilidade de exatamente 3 de 5 tentativas serem bem-sucedidas (0,312500) Exercícios Resolvidos da Distribuição Binomial Bertolo Página 2 O link1 é: http://www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/DistribuicaoProbabilidades/binomial.htm c. P(X < 3) = P(0) + P(1) + P(2) ܲሺ0ሻ ൌ 5! 0! ሺ5 െ 0ሻ! ൬ 1 2 ൰ ൬ 1 2 ൰ ହି ൌ 5! 0! 5! ൬ 1 2 ൰ ൬ 1 2 ൰ ହ ൌ 5.4.3.2.1 1.5.4.3.2.1 ൬ 1 2 ൰ ହ ൌ ൬ 1 32 ൰ ൌ 0,03125 ܲሺ1ሻ ൌ 5! 1! ሺ5 െ 1ሻ! ൬ 1 2 ൰ ଵ ൬ 1 2 ൰ ହିଵ ൌ 5! 1! 4! ൬ 1 2 ൰ ଵ ൬ 1 2 ൰ ସ ൌ 5.4.3.2.1 1.4.3.2.1 ൬ 1 2 ൰ ହ ൌ 5 ൬ 1 32 ൰ ൌ 0,15625 ܲሺ2ሻ ൌ 5! 2! ሺ5 െ 2ሻ! ൬ 1 2 ൰ ଶ ൬ 1 2 ൰ ହିଶ ൌ 5! 2! 3! ൬ 1 2 ൰ ଶ ൬ 1 2 ൰ ଷ ൌ 5.4.3.2.1 2.1.3.2.1 ൬ 1 2 ൰ ହ ൌ 10 ൬ 1 32 ൰ ൌ 0,3125 Então, P(X < 3) = P(0) + P(1) + P(2)= 0,03125 + 0,15625 + 0,3125 = 0,5 Numa planilha Excel teríamos: 2. a. Suponha que a probabilidade dos pais terem um filhoሺaሻ com cabelos loiros seja ¼. Se houverem 6 crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas terem cabelos loiros? b. Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,3, qual é a probabilidade de que em 4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes? Solução a. Aqui n = 6, X = 3, p = 1/4, e q = 3/4. Substituindo estes valores na fórmula binomial, obtemos ܲሺ3ሻ ൌ 6! 3! ሺ6 െ 3ሻ! ൬ 1 4 ൰ ଷ ൬ 3 4 ൰ ିଷ ൌ 6! 3! 3! ൬ 1 4 ൰ ଷ ൬ 3 4 ൰ ଷ ൌ 6.5.4.3.2.1 3.2.1.3.2.1 ൬ 1 64 ൰ ൬ 27 64 ൰ ൌ 20 ൬ 27 4096 ൰ ൌ 540 4096 ≅ 0,13 No Excel poderíamos construir uma planilha para resolver este item do problema assim: 1Outras distribuições poderão ser calculadas neste site: http://www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/index.html 1 2 3 4 5 6 7 A B C D 0 1 2 5 0,5 0,03125 0,15625 0,3125 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;FALSO) 0,5 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;VERDADEIRO) Dados Cálculo Exercícios Resolvidos da Distribuição Binomial Bertolo Página 3 Você poderia também usar o procedimento que desenvolvemos em Javascript para a realização deste cálculo. Assim O link2 é: http://www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/DistribuicaoProbabilidades/binomial.htm b. Aqui n = 4, X ≥ 3, p = 0,3 e 1 – p = 0,7 P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) ܲሺ3ሻ ൌ 4! 3! ሺ4 െ 3ሻ! ሺ0,3ሻଷሺ0,7ሻସିଷ ൌ 4.3.2.1 3.2.1.1 ሺ0,27ሻሺ0,7ሻ ൌ 4ሺ0,0189ሻ ൌ 0,0756 ܲሺ4ሻ ൌ 4! 4! ሺ4 െ 4ሻ! ሺ0,3ሻସሺ0,7ሻ ൌ ሺ0,3ሻସሺ0,7ሻ ൌ ሺ0,3ሻସ ൌ 0,0081 P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) = 0,0756 + 0,0081 = 0,0837 2Outras distribuições poderão ser calculadas neste site: http://www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/index.html 1 2 3 4 5 6 A B Dados 3 6 0,25 Fórmula 0,131836 <--=DISTRBINOM(A2;A3;A4;FALSO) Exercícios Resolvidos da Distribuição Binomial Bertolo Página 4 3. a. Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20% de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos? b. Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação sabido produzir 85% de itens aceitáveis. Qual a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis? Solução a. Aqui n = 10, X ≤ 2, p = 0,2 e 1 – p = 0,8 P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2) ܲሺ0ሻ ൌ 10! 0! ሺ10 െ 0ሻ! ሺ0,2ሻሺ0,8ሻଵ ൌ 0,1074 ܲሺ1ሻ ൌ 10! 1! ሺ10 െ 1ሻ! ሺ0,2ሻଵሺ0,8ሻଽ ൌ 10 ሺ0,2ሻሺ0,1342ሻ ൌ 0,2684 ܲሺ2ሻ ൌ 10! 2! ሺ10 െ 2ሻ! ሺ0,2ሻଶሺ0,8ሻ଼ ൌ 45 ሺ0,04ሻሺ0,1677ሻ ൌ 0,3020 Assim, P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,1074 + 0,2684 + 0,3020 = 0,6778 ou 6,78% b. Aqui n = 15, X = 10, p = 0,85 e 1 – p = 0,15. A probabilidade de X = 10 itens aceitáveis com p = 0,85 é igual a probabilidade de X = 5 itens defeituosos com p = 0,15. Mas fazendo os cálculos encontramos: ܲሺ5ሻ ൌ ଵହ! ହ!ሺଵହିହሻ! ሺ0,15ሻହሺ0,85ሻଵ ൌ 3003 ሺ0,00007594ሻሺ0,1968744ሻ ൌ 0,0449 ou 4,5% 3. a. Se 4 moedas honestas forem lançadas simultaneamente ሺou 1 moeda honesta for lançada 4 vezesሻ, calcule a distribuição de probabilidade completa e desenhe‐a num gráfico b. Calcule e trace o gráfico da distribuição de probabilidade para uma amostra de 5 itens tomada aleatoriamente de um processo de produção sabido produzir 30% de itens defeituosos Solução a. Usando n = 4; X = 0Ca, 1Ca, 2Ca, 3Ca ou 4Ca; P = 1/2, obtemos: 1 2 3 4 5 6 7 A B C D 0 1 2 10 0,2 0,107374182 0,268435456 0,301989888 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;FALSO) 0,67779953 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;VERDADEIRO) Dados Cálculo 1 2 3 4 5 6 A B Dados 10 15 0,85 Fórmula 0,044895 <--=DISTRBINOM(A2;A3;A4;FALSO) Exercícios Resolvidos da Distribuição Binomial Bertolo Página 5 b. Usando n = 5; X = 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 defeituosas; p = 0,3, obtemos 4. Calcule o valor esperado e o desvio padrão e determine a simetria ou assimetria da distribuição de probabilidade de a. Exercício 2 a. b. Exercício 2 b. c. Exercício 3 a. d. Exercício 3 b. Solução a. E(X) = μ = n.p = 6.(1/4) = 3/2 = 1,5 filhos loiros. σX = ඥ݊ሺ1 െ ሻ ൌ ට6ቀଵସቁ ቀ ଷ ସ ቁ ൌ ටଵ଼ ଵ ൌ ඥ1,125 ≅ 1,06 ݂݈݄݅ݏ ݈݅ݎݏ 2 3 4 5 6 7 A B C D E F 0 1 2 3 4 4 0,5 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;FALSO) 1 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;VERDADEIRO) Cálculo 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 1 2 3 4 5 Pr ob ab ili da de Número de Caras 1 2 3 4 5 6 7 A B C D E F G 0 1 2 3 4 5 5 0,3 0,16807 0,36015 0,3087 0,1323 0,02835 0,00243 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;FALSO) 1 <--=DISTRBINOM(C2;$A$3;$A$4;VERDADEIRO) Dados Cálculo 0,16807 0,36015 0,3087 0,1323 0,02835 0,00243 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 1 2 3 4 5 6 Pr ob ab ili da de Número de Caras Figura – Distribuição de Probabilidades de Caras no Lançamento de 4 Moedas Honestas. Note na figura que quando p ൌ 0,5, a distribuição de probabilidade é simétrica. Figura – Distribuição de Probabilidades de Itens Defeituosos numa amostra de 5 itens extraídos aleatoriamente de um processo de produção que se sabe produzir 30% de itens defeituosos. Note na figura que quando p ൏ 0,5, a distribuição de probabilidade é assimétrica para a direita. Exercícios Resolvidos da Distribuição Binomial Bertolo Página 6 Como p < 0,5, a distribuição de probabilidade de crianças loiras é assimétrica à direita. Página12 Qual é a probabilidade de se obter 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta?Simplificando, a gente tem 5 em 16 como chance, como probabilidade de ter exatamente 3 caras.
Qual a probabilidade de 3 moedas caírem cara?A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/ 4, ou 0,25, ou ainda 25%.
Como calcular a probabilidade de uma moeda?Num jogo de cara ou coroa, qual a probabilidade de a moeda cair do lado cara? O cálculo é bastante simples: o número de resultados esperados (1, exatamente o resultado cara) dividido pelo número de resultados possíveis (2, cara e coroa).
Qual é o número total de possibilidades de resultado no lançamento de cinco moedas?Qual é o número total de possibilidades de resultado no lançamento de 5 moedas? Portanto, são 32 possibilidades diferentes.
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Qual é a probabilidade de 3 caras em 5 lançamento de uma moeda honesta?
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