Qual o polígono que possui o número de diagonais igual a 6 vezes o número de lados?

Respostas

Resposta Questão 1

A área de um retângulo é dada pelo produto entre sua base e altura. Como possuímos medidas distintas de dois lados de um retângulo, podemos considerar que essas medidas são de sua base e altura. Logo:

(x + 3)(x – 2) = 60

x2 – 2x + 3x – 6 = 60

x2 + x – 6 = 60

x2 + x – 6 – 60 = 0

x2 + x – 66 = 0

Alternativa D

Resposta Questão 2

Para determinar a quantidade de lados desse polígono, poderemos usar a fórmula do cálculo do número de diagonais a partir do número de lados. Observe:

D = n(n – 3)
        2

170 = n(n – 3)
           2

2·170 = n(n – 3)

340 = n2 – 3n

n2 – 3n – 340 = 0

A solução desse problema pode ser feita por meio da fórmula de Bháskara:

Δ = b2 – 4·a·c

Δ = (– 3)2 – 4·1·(– 340)

Δ = 9 + 1360

Δ = 1369

n = – b ± √Δ
       2a

n = – (– 3) ± √1369
        2

n = 3 ± 37
     2

n = 3 + 37 = 40 = 20
 2         2

Não é necessário calcular a outra raiz, pois ela é negativa e não pode haver polígono com número negativo de lados. Sendo assim, o polígono com 170 diagonais possui 20 lados.

Alternativa C

Resposta Questão 3

A área do retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Supondo que a altura desse retângulo mede x, sua base medirá 2x. Assim, teremos:

2x·x = 72

2x2 = 72

x2 = 72
        2

x2 = 36

x = ± √36

x = 6 ou – 6

O valor negativo não importa, pois não pode existir retângulo com um lado medindo – 6 metros. A medida encontrada foi do menor lado do retângulo, entretanto, o exercício pede o maior. Sabendo que o maior lado é o dobro do menor, teremos:

2·6 = 12 metros

Alternativa A

Resposta Questão 4

A área do retângulo inicial é:

2·5 = 10 m2

A área do novo retângulo é:

(2 + x)(5 + x) = 7·10

10 + 2x + 5x + x2 = 70

x2 + 7x + 10 – 70 = 0

x2 + 7x – 60 = 0

Δ= b2 – 4·a·c

Δ = (– 7)2 – 4·1·(– 60)

Δ = 49 + 240

Δ = 289

x = – b ± √Δ
         2a

x = – (7) ± √289
        2

x = – 7 ± 17
         2

x = – 7 + 17 = 10 = 5
      2         2

O outro valor de x ficará negativo. Como não pode existir retângulo com lado negativo, então será inútil encontrá-lo.

As medidas do retângulo são: 2 + x = 2 + 5 = 7 metros; 5 + x = 5 + 5 = 10 metros.

Alternativa B

Um polígono é uma figura geométrica formada por segmentos de reta ligados um ao outro pelo seu ponto inicial e final. Para ser polígono, a figura deve ser fechada e os segmentos de reta que a compõem não podem se cruzar.

São elementos pertencentes ao polígono:

1 – Segmentos de reta chamados de lados. Na figura, eles são AB, BC, … e HA;

2 – Pontos de encontro entre esses lados, isto é, os vértices. Na figura, são os pontos A, B, … e H;

3 – Ângulos internos do polígono. Na figura, é o ângulo de 135°;

4 – Ângulos externos do polígono. Na figura, é o ângulo de 45°;

5 – Diagonais. Na figura, são os segmentos pontilhados.

A figura acima mostra que, partindo do vértice F, podem ser construídas cinco diagonais. Não podem ser construídas mais que cinco porque a diagonal é um segmento de reta que se inicia em um vértice de um polígono e termina em outro vértice não consecutivo ao vértice inicial do mesmo polígono.

Dessa forma, para desenhar todas as diagonais de um polígono, basta ligar todos os seus vértices. Aqueles que já são lados não podem ser considerados diagonais. A figura seguinte mostra pontilhadas todas as diagonais de um octógono.

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Para saber quantas diagonais determinado polígono possui, podemos desenhá-las e contá-las ou apenas utilizar a fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono:

D = n(n – 3)
      2

*n é o número de lados do polígono.

Vamos testar a funcionalidade dessa fórmula. Vejamos o número de diagonais do quadrado:

Um quadrilátero possui apenas duas diagonais. Vamos utilizar a fórmula para verificar essa informação:

D = 4(4 – 3)
      2

D = 4·1
      2

D = 2

Vejamos para o pentágono:

Um pentágono possui cinco diagonais. Vejamos se a fórmula resulta nesse mesmo número:

D = 5(5 – 3)
      2

D = 5·2
      2

D = 10
      2

D = 5

Vale ressaltar que desenhar um polígono que possui 25 lados não é tarefa fácil e desenhar suas 275 diagonais é uma tarefa mais difícil ainda. A contagem dessas diagonais pode ser muito confusa, mas o cálculo é exato e não oferece margem de erro.

D = 25(25 – 3)
      2

D = 25·22
     2

D = 25·11

D = 275

Qual é o nome do polígono que possui o número de diagonais igual a seis vezes o número de lado?

Qual é o polígono que tem o número de diagonais é igual ao número de lados?

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