Quanto maior a distância de um planeta ao Sol maior será o seu período?

A segunda lei de Kepler, também conhecida como a lei das áreas, afirma que a reta imaginária que liga um planeta até o Sol varre áreas iguais em intervalos de tempos iguais. De acordo com essa lei, a área percorrida pelo raio vetor que liga um planeta até o Sol durante um intervalo de tempo é constante e recebe o nome de velocidade areolar.

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Introdução à segunda lei de Kepler

A segunda lei de Kepler decorre diretamente do princípio da conservação do momento angular. O momento angular é a quantidade de movimento relacionada aos corpos em rotação, como é o caso dos planetas que se movem em torno do Sol. O momento angular é uma grandeza vetorial, e o seu módulo depende diretamente do raio da órbita e da velocidade com que o corpo move-se. Dessa forma, se a distância entre o Sol e o planeta aumentar, sua velocidade deve deminuir e vice-versa.

A segunda lei de Kepler foi capaz de mostrar que, ao traçarmos uma reta que vai de um planeta até o Sol, a área varrida por essa reta ao longo da órbita será sempre igual para intervalos de tempos iguais, independentemente de qual seja a posição inicial do planeta. Isso acontece porque a área percorrida tem o formato de um arco cujo comprimento diz respeito à velocidade com que o planeta move-se, mas seus lados são determinados pelas distâncias inicial e final com relação ao Sol.

A razão com que uma área é percorrida pelo raio vetor que liga o planeta até o Sol para um determinado intervalo de tempo é conhecida como velocidade areolar, além disso, quando um planeta está em órbita do Sol, essa velocidade é sempre constante, confira:

Ω – velocidade areaolar (m²/s)

A – área (m²)

Δt – intervalo de tempo (s)

É importante notar que a velocidade areolar é diferente da velocidade orbital do planeta. Essa última muda de acordo com a distância entre o planeta e o Sol — nas proximidades do periélio, a velocidade orbital aumenta, e no afélio, diminui, graças às variações no módulo da atração gravitacional.

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Resumo de segunda lei de Kepler

De acordo com a segunda lei de Kepler:

• A reta que liga um planeta até o Sol percorre áreas iguais em intervalos de tempos iguais.

• A razão com que a área é percorrida pelo raio vetor é conhecida como velocidade areolar.

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Exercícios resolvidos sobre a segunda lei de Kepler

Questão 1) (UFRGS) A elipse, na figura abaixo, representa a órbita de um planeta em torno de uma estrela S. Os pontos ao longo da elipse representam posições sucessivas do planeta, separadas por intervalos de tempos iguais. As regiões alternadamente coloridas representam as áreas varridas pelo raio da trajetória nesses intervalos de tempo. Na figura, em que as dimensões dos astros e o tamanho da órbita não estão em escala, o segmento de reta SH representa o raio focal do ponto H de comprimento p.

Considerando que a única força atuante no sistema estrela-planeta seja a força gravitacional, são feitas as seguintes afirmações:

I. As áreas S1 e S2, varridas pelo raio da trajetória, são iguais.

II. O período da órbita é proporcional a p3.

III. As velocidades tangenciais do planeta nos pontos A e H, VA e VH são tais que VA > VH.

Quais estão corretas?

a) Apenas I

b) Apenas I e II

c) Apenas I e III

d) Apenas II e III

e) I, II e III

Gabarito: Letra C

Resolução:

Vamos analisar as alternativas:

I – VERDADEIRO

II – FALSO. O quadrado do período da órbita é proporcional ao cubo do raio médio, de acordo com a 3ª lei de Kepler.

III – VERDADEIRO

Questão 2) (Acafe) Foi encontrado pelos astrônomos um exoplaneta (planeta que orbita uma estrela que não o Sol) com uma excentricidade muito maior que o normal. A excentricidade revela quão alongada é sua órbita em torno de sua estrela. No caso da Terra, a excentricidade é 0,017, muito menor que o valor 0,96 desse planeta, que foi chamado HD 20782.

Nas figuras a seguir, pode-se comparar as órbitas da Terra e do HD 20782.

Nesse sentido, assinale a alternativa correta:

a) As leis de Kepler não se aplicam ao HD 20782 porque sua órbita não é circular como a da Terra.

b) As leis de Newton para a gravitação não se aplicam ao HD 20782 porque sua órbita é muito excêntrica.

c) A força gravitacional entre o planeta HD 20782 e sua estrela é máxima quando ele está passando no afélio.

d) O planeta HD 20782 possui um movimento acelerado quando se movimenta do afélio para o periélio.

Gabarito: Letra D

Resolução:

No periélio, o planeta está na menor distância até o Sol, por isso, está sujeito à maior atração gravitacional que sua órbita permite, portanto, a resposta correta é a letra D.

Questão 3) (UFSM) Os avanços nas técnicas observacionais têm permitido aos astrônomos rastrear um número crescente de objetos celestes que orbitam o Sol. A figura mostra, em escala arbitrária, as órbitas da Terra e de um cometa (os tamanhos dos corpos não estão em escala). Com base na figura, analise as afirmações:

I. Dada a grande diferença entre as massas do Sol e do cometa, a atração gravitacional exercida pelo cometa sobre o Sol é muito menor que a atração exercida pelo Sol sobre o cometa.

II. O módulo da velocidade do cometa é constante em todos os pontos da órbita.

III. O período de translação do cometa é maior que um ano terrestre.

Está(ão) correta(s):

a) apenas I

b) apenas III

c) apenas I e II

d) apenas II e III

e) I, II e III

Gabarito: Letra B

Resolução:

Vamos analisar as alternativas:

I – FALSA. De acordo com a terceira lei de Newton, essas forças devem ter intensidades iguais.

II – FALSA. Nas trajetórias elípticas, o movimento é acelerado quando o astro aproxima-se do Sol.

III – VERDADEIRA

Quanto maior a distância de um planeta em relação ao Sol maior será o seu período ou seja o tempo necessário para sua translação?

Quanto maior o planeta maior será seu período de rotação?

Quanto maior a distância de um planeta ao Sol mais rápido ele se movimenta?

Quanto maior a distância do planeta em relação ao Sol o seu período de translação aumenta ou diminui *?