Quantos números naturais de 3 algarismos podem ser formados com os algarismos 2 3 4 e 5?

5 Quantos números naturais de três ou quatro algarismos distintos podem ser formados com os alga rismos 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Resolução

Sendo A o conjunto dos números naturais de três algarismos distintos formados pelos algarismos 4, 5, 6, 7, 8 e 9, calculamos n(A):

n(A) = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120

Sendo B o conjunto dos números naturais de quatro algarismos distintos formados pelos algarismos 4, 5, 6, 7, 8 e 9, calculamos n(B):

n(B) = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 360

Para concluir, devemos calcular o número de elementos que pertencem a A ou a B, ou seja, n(A ∪ B). Como A e B são disjuntos, isto é, A ∩ B = ∅, temos:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

∴ n(A ∪ B) = 120 + 360 = 480

Logo, podem ser formados 480 números nas condições enunciadas.

Utilizamos o arranjo simples quando queremos saber quantos agrupamentos ordenados diferentes podemos formar com p dos n elementos dados, sendo sempre p ≤ n. Ou seja, nesse caso, a ordem em que os elementos se encontram no agrupamento é importante.

Um dos métodos mais antigos de criptografia, utilizado desde a antiguidade, é alterar a posição dos elementos, tornando a mensagem ilegível. Atualmente, com a tecnologia da análise combinatória, o uso da criptografia ficou mais sofisticado. Hoje, informações codificadas expandiram-se: estão presentes em cartões de crédito, na internet e até mesmo em ligações telefônicas.

Por exemplo: usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números naturais de 3 algarismos distintos podemos formar? Para isso, podemos utilizar o seguinte raciocínio:

Como não podemos repetir, há 5 possibilidades para o 1º algarismo, 4 para o 2º e 3 para o 1º. No total, podemos formar 5 . 4 . 3 = 60 números.

Podemos também obter esse mesmo resultado utilizando a fórmula do arranjo:

• n = número total de elementos;
• p = números de elementos que queremos que estejam no agrupamento ordenado.

Resolvendo o exemplo acima, utilizando a fórmula, teremos n = 5 e p = 3:

Diferença entre arranjo e combinação

Quando realizamos a combinação de n elementos em grupos de p elementos, sem se importar com a ordem dos elementos nesse grupo, estamos fazendo a combinação desses elementos. Porém, quando a ordem é importante, precisamos utilizar o arranjo.

Podemos visualizar isso melhor imaginando a seguinte situação:

(1) Anna, Elisa, Rosana, Diego, Fabrício e João estão disputando uma corrida. Quais são as possibilidades de formação do pódio de primeiro, segundo e terceiro lugar?

Nesse caso, a posição em que cada pessoa fica faz diferença: se eles ficam em primeiro, segundo ou terceiro é diferente.

Porém, se essas mesmas pessoas estiverem se organizando em duplas para treinar para esse campeonato, tanto faz se a dupla for (Anna, Elisa) ou (Elisa, Anna). Portanto, a ordem não importa. Nesse caso, usaremos, então, a combinação.

Como resolver exercícios de arranjo?

Todos os exercícios que envolvem arranjo simples podem ser resolvidos de duas formas: utilizando a fórmula e usando um raciocínio de multiplicar os números usados em cada posição. Essas duas maneiras foram empregadas na resolução do primeiro exemplo. Veja outros exemplos, a seguir, nos exercícios resolvidos.

Exercícios resolvidos

1) Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

RESPOSTA:

1ª maneira: utilizando a fórmula.

Procuramos agrupamentos de 2 elementos em que a ordem é importante, pois, por exemplo, 12 ≠ 21. Temos 9 elementos para serem arranjados 2 a 2. Assim, temos que calcular:

2ª maneira: sem usar a fórmula.

Para o algarismo das dezenas, temos 9 opções e, para algarismo das unidades, apenas 8 opções, pois não podemos repetir algarismos.

Assim, temos 9 . 8 = 72 possibilidades.

Portanto, são 72 números.

2) Quantos números de 2 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3 e 4?

RESPOSTA:

1ª maneira: sem usar a fórmula.

Para o algarismo das dezenas, temos 4 opções e, para o algarismo das unidades, apenas 3, pois não podemos repetir algarismos. Assim, temos 4 . 3 = 12 possibilidades, portanto, 12 números.

2ª maneira: utilizando a fórmula.

Nesse caso, temos quatro dígitos, 1, 2, 3 e 4, e queremos saber quantos números de 2 algarismos diferentes podemos escrever com eles. Precisamos calcular A4,2.

3) Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. Quantas maneiras diferentes ele poderá pintar os estados da região Sul do Brasil, cada um de uma cor?

RESPOSTA:

1ª maneira: sem usar a fórmula.

São 3 estados: Rio Grande do Sul, Paraná e Santa Catarina. Para pintar o Rio Grande do Sul, há 5 possibilidades, para o Paraná, 4 possibilidades, e, para Santa Catarina, 3 possibilidades.

Logo, 5 . 4 . 3 = 60 possibilidades.

2ª maneira: usando a fórmula.

Os estados do sul do Brasil são 3: Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. Logo, devemos calcular A5,3.

Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1 2 3 4 e 5?

Quantos números naturais de três algarismos podem ser representados Utilizando

Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com algarismos 1 2 3 4 5 e 6?

Quantos números naturais de 4 algarismos distintos podemos formar com os números 1 2 3 4 5 6 7?