Como se pode determinar a área de um triângulo conhecidas as coordenadas de seus vértices?

• Geometria Analítica

Para descobrir a área de um triângulo na geometria plana é só efetuar uma relação com a medida de suas dimensões. Já na trigonometria, essa relação é feita com a medida do seno de um determinado ângulo interno e os lados do triangulo em questão.

Na geometria analítica existem outros métodos para calcular a área de um triangulo, nessa situação é preciso saber as coordenadas dos seus três vértices para que o triângulo consiga ser retratado em um plano cartesiano.

Os pontos e as coordenadas da geometria analítica além de determinar a áreas, também podem ser usados para calcular os coeficientes angulares das retas e as distâncias das figuras planas.

Existe uma expressão matemática que determina por meio das coordenadas e pontos a áreas de uma região triangular, que pode ser representada da seguinte forma:

A = 1/2. |D|

Onde, a área será a metade do módulo do determinante das coordenadas dos pontos.

Essa expressão foi criada a partir do aspecto não colinear dos pontos, isto é, esses pontos não estão localizados em uma mesma reta e, por isso, indicam um triângulo.

Observa-se que a medida D é igual à matriz determinante para realizar a disposição de alinhamento entre três pontos. Dessa forma, se o determinante da área de um triângulo der igual a zero, quer dizer que o três pontos não formam um triângulo, uma vez que estão alinhados.

Uma consideração importante é em relação ao módulo da medida D, isto é, usa-se o valor absoluto da medida. Por se referir a uma área, não deve-se assumir um determinante negativo, já que isso ocasionaria uma área negativa, e isso não existe.

Considere um triangulo com coordenadas, A (xa, za), B (xb, zb) e C (xc, zc), não colineares. O módulo do determinante desse triângulo será:

D = |xa za 1|

|xb zb 1|

|xc zc 1|

Ex:

1) Um triângulo com coordenadas, A (4, 0), B (0, 0) e C (0, 6). Sua área pode ser calculada da seguinte maneira:

– Realizar o determinante das coordenadas

D = |4 0 1|4 0

|0 0 1|0 0

|0 6 1|0 6

D = -24

– Calcular a área

A = 1/2. |D|

A = 1/2. |-24|

A = 1/2. 24

A = 12

Portanto, a área do triângulo é igual a 12.

2)Um triângulo com área 25/2 e coordenada, (0, 1), (2, 4) e (-7, k). Ainda com a fórmula da área do triângulo pode-se calcular o valor de uma das suas coordenadas, da seguinte forma:

– Realizar o determinante das coordenadas

D = |0 1 1|0 1

|2 4 1|2 4

|-7 k 1|-7 k

D = -7 + 2k + 28 -2

D = 2k + 19

– Substituir na fórmula

A = 1/2. |D|

25/2 = 2k + 19/2

25 = 2k +19

25 – 19 = 2k

6 = 2k

k = 3

Portanto, o valor da coordenada k é igual a 3.

3) Um triângulo possui área igual a 20 e coordenadas A (0, 0), B (0, -8) e C (x, 0). Precisa-se descobrir a coordenada x.

– Substituir o valor da área

A = 1/2. |D|

20 = 1/2. |D|

|D| = 40

– Calcular o determinante

D = |0 0 1|0 0

|0 -8 1|0 -8

|x 0 1|x 0

D = 8x

– Substituir o valor do determinante

|D| = 40

|8x| = 40

8x = 40 ou 8x = -40

x = 5 ou x = -5

Portanto, o valor da coordenada x pode ser 5 ou -5.

Geometria Analítica

A Geometria Analítica, também conhecida como coordenadas geométricas, baseia-se no estudo da Geometria por meio do uso da Álgebra. Os primeiros estudos estão relacionados com o matemático René Descartes, fundador do modelo de coordenadas cartesianas.

Os estudos referidos a geometria Analítica começaram no século XVII, Descartes, ao conectar a Geometria com a Álgebra, geraram regras matemáticas adequadas para estudar através dos processos geométricos os domínios do ponto, da circunferência e da reta, definindo intervalos entre eles, pontos de coordenadas e localização.

Uma particularidade considerável da geometria analítica está no significado das formas geométricas de forma numérica, tirando dados relevantes para reprodução. A partir disso a matemática passou a ser reconhecida como uma disciplina moderna, apta a esclarecer e constatar situações pertencentes ao espaço. Os conhecimentos claros de vetores tiveram inicio de maneira conclusiva, na procura por conseqüências numéricas que mostrem a percepção da união entre Álgebra e Geometria.

Os cientistas Gottfriend Leibniz e Isaac Newton reuniram estudos na geometria analítica, que ajudaram como apoio prático e teórico para o aparecimento do Cálculo Diferencial e Integral, muito usado nos dias atuais na Engenharia.

Alguns tópicos podem ser relacionados ao estudo da geometria analítica, entre eles:

– Estudo Analítico do Ponto

– Estudo da Reta

– Estudo da Circunferência

– Estudo das Cônicas.

Esta lista de exercícios tem questões sobre a área do triângulo e vai ajudá-lo(a) a testar seus conhecimentos sobre o tema.

Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira em Exercícios de Matemática

Questão 1

Um triângulo possui base de 12 cm e a altura relativa a essa base igual a 8 cm. A área desse triângulo é igual a:

A) 12 cm².

B) 20 cm².

C) 24 cm².

D) 48 cm².

E) 96 cm².

Questão 2

A seguir temos a representação de uma região limitada por um triângulo:

A medida da superfície dessa região é:

A) 34 cm².

B) 68 cm².

C) 84 cm².

D) 120 cm².

E) 210 cm².

Questão 3

Um triângulo é conhecido como equilátero quando ele possui todos os lados congruentes, ou seja, com a mesma medida. A área do triângulo equilátero que possui lado de 6 cm é igual a:

A) 18 cm²

B) \(18\sqrt2\) cm²

C)\(6\sqrt3\) cm²

D)\(16\sqrt2\) cm²

E)\(9\sqrt3\) cm²

Questão 4

Durante uma fiscalização do Ibama, em uma área de desmatamento ilegal na Amazônia, foi encontrada uma região que possui uma área de 64 km² e formato próximo a um triângulo, com base medindo 8 km. Nessas condições, a altura desse triângulo tem que ser de:

A) 128 km.

B) 32 km.

C) 16 km.

D) 12 km.

E) 8 km.

Questão 5

A base de um triângulo é igual à metade da sua altura. Se a sua área é de 36 m², então a medida da sua base é de:

A) 6 metros.

B) 8 metros.

C) 10 metros.

D) 12 metros.

E) 14 metros.

Questão 6

Natália separou uma região em formato de um triângulo equilátero do seu terreno para construir um jardim para a sua filha. Essa região possui área igual a 6,8 m². Utilizando 1,7 como aproximação de \(\sqrt{3}\), qual é a medida do lado desse triângulo?

A) 5 metros.

B) 4 metros.

C) 3 metros.

D) 2 metros.

E) 1 metro.

Questão 7

O perímetro do triângulo a seguir é igual a 61 cm.  A área desse terreno mede:

A) 75 cm².

B) 98 cm².

C) 147 cm².

D) 196 cm².

E) 294 cm².

Questão 8

Em terreno com formato de um triângulo retângulo com catetos de 12 metros e 15 metros, foi colocado um tablado quadrado com lados de 3 metros. O restante da área foi todo gramado. Nessas condições, a área gramada desse terreno mede:

A) 90 m².

B) 81 m².

C) 75 m².

D) 69 m².

E) 64 m².

Questão 9

O pai de Thiago deixou de herança para ele e seu irmão dois terrenos de mesma área. O terreno do Thiago é um triângulo, com um dos seus lados medindo 16 metros. O terreno do seu irmão é um retângulo, com lados medindo 24 metros e 8 metros. Então podemos afirmar que a altura relativa ao lado conhecido do terreno de Thiago mede:

A) 8 metros.

B) 12 metros.

C) 16 metros.

D) 18 metros.

E) 20 metros.

Questão 10

Analise a figura plana a seguir:

A área da parte branca do retângulo é igual a?

A) 450 m²

B) 490 m²

C) 540 m²

D) 750 m²

E) 1080 m²

Questão 11

A base de um triângulo mede x + 1 e a sua altura mede x – 1. Se a área desse triângulo é igual a 24 m², então o valor de x é:

A) 8.

B) 7.

C) 6.

D) 5.

E) 4.

Questão 12

A área de um triângulo retângulo que possui hipotenusa medindo 25 cm e um dos catetos medindo 20 cm é:

A) 250 cm².

B) 175 cm².

C) 320 cm².

D) 150 cm².

Questão 13

(Enem 2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.

Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30 o m², e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50 o m².

De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?

A) R$ 22,50

B) R$ 35,00

C) R$ 40,00

D) R$ 42,50

E) R$ 45,00

Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa D.

Calculando a área, temos que:

\(A=\frac{b⋅h}2\)

\(A=\frac{12⋅8}2\)

\(A=\frac{96}2\)

\(A=48\ cm^2\)

Resposta Questão 2

Alternativa D.

A medida da superfície é igual à área do triângulo, que, nesse caso, possui base igual a 24 cm e altura igual a 10 cm.

\(A=\frac{b⋅h}2\)

\(A=\frac{24⋅10}2\)

\(A=\frac{240}2\)

\(A=120\ cm^2\)

Resposta Questão 3

Alternativa E.

A área do triângulo equilátero é calculada pela fórmula:

\(A=\frac{l^2 \sqrt3}4\)

Então, temos que:

\(A=\frac{6^2 \sqrt3}4\)

\(A=\frac{36 \sqrt3}4\)

\(A=9\sqrt3 \ cm^2\)

Resposta Questão 4

Alternativa C.

Como a área é de 64 km², então temos que:

\(A=\frac{b⋅h}2\)

\(64=\frac{8⋅h}2\)

\(64 ⋅2 = 8h\)

\(128 = 8h\)

\(h=\frac{128}8\)

\(h=16\ km\)

Resposta Questão 5

Alternativa A.

Sabemos que a base é igual à metade da altura, logo temos que:

\(b=\frac{h}2\)

\(2b = h\)

Vamos calcular agora a área desse triângulo:

\(A=\frac{b⋅h}2\)

\(36=\frac{b⋅2b}2\)

\(36=\frac{2b^2}2\)

\(36=b^2\)

\(\sqrt{36}=b\)

\(6 = b\)

Então, a base desse triângulo é de 6 metros.

Resposta Questão 6

Alternativa B.

A área do triângulo equilátero é calculada por:

\(A=\frac{l^2 \sqrt3}4\)

Então, temos que:

\(6,8=\frac{l^2\cdot 1,7}4\)

\(6,8⋅4=l^2⋅1,7\)

\(27,2=l^2⋅ 1,7\)

\(\frac{27,2}{1,7}=l^2\)

\(16=l^2\)

\(l=\sqrt{16}\)

\(l= 4\ metros\)

Resposta Questão 7

Alternativa C.

Calculando o valor de x, temos que:

\(P = 5x+1 + 6x+2 + 2x+6 = 61\)

\(13x + 9 = 61\)

\(13x = 61 – 9\)

\(13x = 52\)

\(x = 52∶ 13 \)

\(x = 4\ cm\)

Sabendo que x = 4, então os catetos do triângulo medem:

\(5x + 1 = 4 ⋅5 + 1 = 21\)

\(2x + 6 = 2⋅4 + 6 = 8 + 6 = 14 \)

Logo, a área desse triângulo é:

\(A = \frac{21⋅14}2\)

\(A = 21 ⋅7\)

\(A=147\ cm^2\)

Resposta Questão 8

Alternativa B.

Calculando a área do terreno, que é um triângulo, temos que:

\(A=\frac{12⋅15}2\)

\(A= 6 ⋅15 \)

\(A=90\ m^2\)

Agora calculando a área do tablado:

\(A=3^2=9\ m^2\)

A área a ser gramada é a diferença entre a área do terreno e a área do tablado:

\(A_G=90-9=81\ m^2\)

Resposta Questão 9

Alternativa B

Calculando a área do retângulo:

\(A=24 ⋅8 = 192\ m^2\)

Sabendo que as áreas dos terrenos são iguais, para encontrar a altura do terreno do Thiago, temos que:

\(A=\frac{b⋅h}2\)

\(192=\frac{16⋅h}2\)

\(192 = 16h\)

\(h=\frac{192}{16}\)

\(h=12\ m\)

Resposta Questão 10

Alternativa C.

Sabemos que a área do retângulo é igual ao produto da base pela altura e que a área do triângulo é igual à metade do produto entre a base e a altura. Sendo assim, sabemos que o triângulo tem a metade da área do retângulo, logo podemos concluir que a parte branca é a outra metade da área do retângulo, ou seja, a área branca tem a mesma medida que a área do triângulo.

\(A=\frac{30⋅36}2\)

\(A= 15 ⋅36\)

\(A=540\ m^2\)

Resposta Questão 11

Alternativa B.

Calculando a área:

\(A=\frac{b⋅h}2\)

\(24=\frac{(x+1)(x-1)}2\)

\(24⋅2=(x+1)(x-1)\)

\(48=x^2-x+x-1\)

\(48=x^2- 1\)

\(48+1=x^2\)

\(49=x^2\)

\(x=\sqrt{49}\)

\(x=7\)

Resposta Questão 12

Alternativa D.

Como sabemos o valor da hipotenusa e de um dos catetos, para encontrar o valor do outro cateto, utilizaremos o teorema de Pitágoras.

\(25^2=20^2+x^2\)

\(625=400+x^2\)

\(625-400=x^2\)

\(225=x^2\)

\(x=\sqrt{225}\)

\(x=15\)

Sabendo que o outro cateto mede 15, então calcularemos a área do triângulo retângulo:

\(A=\frac{15⋅20}2\)

\(A= 15 ⋅10 \)

\(A=150\ m^2\)

Resposta Questão 13

Alternativa B.

A área de um dos triângulos brancos possui base igual a 0,25 metro e altura igual a 0,5 metro. Como são quatro triângulos, a área clara será de:

\(A=4\cdot\frac{0,25\cdot0,5}2\)

\(A = 2 (0,25 \cdot 0,5)\)

\(A = 0,25\ m^2\)

Calculando a área escura, sabemos que a área do quadrado é:

1² = 1

\(1 – 0,25 = 0,75\ m^2\)

Logo, o preço será:

\(P = 0,25\cdot50 + 0,75\cdot30\)

\(P = 12,5 + 22,5 = 35\ reais\)

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Como calcular a área de um triângulo pelas coordenadas de seus vértices?

Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo?

Como se calcula a área de um triângulo?

Como saber a vértice de um triângulo?