Equações diferenciais lineares de primeira ordem

Q: Como saber a ordem de uma equação diferencial?

Ordem e Grau de uma Equação Diferencial (y)³+3y+6y=tan(x) tem ordem 2 e grau 3. y+3yy=exp(x) tem ordem 2 e grau 1. y=f(x,y) tem ordem 1 e grau 1. M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 tem ordem 1 e grau 1.

Método 1: Equações Separáveis

Dada a função da forma canônica (padrão):

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Método 1: Equações Separáveis
Método 2: Equações Lineares
O que é uma equação diferencial linear de primeira ordem?
Como saber a ordem de uma equação diferencial?
Qual a diferença entre EDO é EDP?

\[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{f(y)}} \\ \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= \frac{\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{f(y)}} \end{align} \] - Reescrever na forma diferencial e integrar:

\[ \begin{align} \int{\color{blue}{f(y)}}{\color{blue}{dy}} &= \int{\color{orange}{g(t)}}{\color{orange}{dt}} \end{align} \]

Método 2: Equações Lineares

Dada a função da forma canônica (padrão), não fatorável para ${y^{\prime}}$, ou seja não separável:

\[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= {\color{orange}{a(t)}}{\color{blue}{y}} + {\color{orange}{b(t)}} \end{align} \] ou ainda: \[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= {\color{orange}{b(t)}} \end{align} \] note que ${\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} = -{\color{orange}{a(t)}}{\color{blue}{y}}$, apenas para não termos que lidar com sinal negativo nessa demonstração.

Se ${\color{orange}{b(t)}} = 0$ a equação é considerada homogênea.

Note que uma EDO linear de 1º ordem homogênea é separável:

\[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= {\color{orange}{a(t)}}{\color{blue}{y}} \end{align} \] basta utilizar o método 1 para resolver.

Se ${\color{orange}{b(t)}} \ne 0$ a equação é considerada não-homogênea.

\[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= {\color{orange}{a(t)}}{\color{blue}{y}} + {\color{orange}{b(t)}} \end{align} \]

Para resolve-la vamos introduzir um método.

Método para solução de uma EDO 1º ordem linear não-homogênea - (Fator de integração):

A equação da forma:

\[ \begin{align} \boxed{\frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}}} &= {\color{orange}{b(t)}} \end{align} \]

O lado esquerdo da equação “parece” o resultado da Regra do Produto. Então vamos pegar o lado esquerdo e multiplicar por uma função mágica $\mu(t)$ de tal forma que tenhamos o resultado da Regra do Produto.

Lembre-se

\[ \begin{align} \mu \frac{dy}{dt} + \frac{d\mu}{dt} y &= \frac{d}{dt}(\mu\cdot y) \end{align} \]

Então, multiplicando o lado esquerdo por $\mu(t)$ temos:

$$ \[\begin{align} \mu(t)\frac{dy}{dt} + \mu(t){\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= \frac{d}{dt}(\mu(t)\cdot \color{blue}{y}) \\ \\ \mu(t)\frac{dy}{dt} + \mu(t){\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= \mu(t)\frac{dy}{dt}+\frac{d\mu}{dt}\color{blue}{y} \\ \\ \mu(t){\color{orange}{g(t)}} &= \frac{d\mu}{dt} \\ \\ \frac{d\mu}{dt} &= \mu(t){\color{orange}{g(t)}} \\ \\ \mu(t) &= e^{\int\color{orange}{g(t)}dt} \end{align}\]

$$ Assim a função mágica é chamada de fator de integração:

\[ \begin{align} \mu(t) = e^{\int\color{orange}{g(t)}dt} \end{align} \]

Assim multiplicando ambos os lados da nossa equação temos:

\[ \begin{align} \mu(t)\frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + \mu(t){\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= \mu(t){\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{d}{dt}(\mu(t)\cdot{\color{blue}{y}}) &= \mu(t){\color{orange}{b(t)}} \end{align} \] Integrando ambos os lados para resolver, temos: \[ \begin{align} \mu(t)\cdot{\color{blue}{y}} &= \int\mu(t){\color{orange}{b(t)}}dt \end{align} \]

Passos para resolver a EDO 1º ordem não homogênea utilizando o fator de integração:

Colocar a equação na forma:

\[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= {\color{orange}{b(t)}} \end{align} \]

Obter o fator de integração:

\[ \begin{align} \mu(t) = e^{\int\color{orange}{g(t)}dt} \end{align} \] - Multiplicar ambos os lados por $\mu(t)$:

\[ \begin{align} \mu(t)\frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + \mu(t){\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= \mu(t){\color{orange}{b(t)}} \end{align} \] - Notar que o resultado do lado esquerdo é o resultado da regra do produto, integrando ambos os lados resulta em:

\[ \begin{align} \mu(t)\cdot{\color{blue}{y}} &= \int\mu(t){\color{orange}{b(t)}}dt \end{align} \]

Resolve se a integral, note que nesta última integração devemos adicionar a constante de integração. Isolando o $y(t)$ (quando possível) tem-se a solução geral explícita da EDO, caso contrário tem-se a solução geral implícita.

Método para solução de uma EDO 1º ordem linear não-homogênea - (Variação de parâmetros):

É um método muito similar ao do fator de integração, porém com outra abordagem. Este é um método aplicado regularmente para resolver EDO’s de 2º ordem com mais eficiência que o anterior.

Procedimento geral:

Encontrar a solução (não trivial, não zero) da EDO homogênea $\color{cyan}{y_h(t)}$, por separação de variáveis.

\[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{{\color{cyan}{dy_h}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{cyan}{y_h}} &= 0 \end{align} \]

Variação de parâmetros: substituiremos $\color{blue}{y(t)} = \mu(t)\color{cyan}{y_h(t)}$ na equação não-homogênea, para encontrar a função desconhecida $\mu = \mu(t)$.

\[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy(t)}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y(t)}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \frac{d}{dt}(\mu(t)\color{cyan}{y_h}) + {\color{orange}{g(t)}}\mu(t){\color{cyan}{y_h}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{d\mu}{dt}\color{cyan}{y_h} + \mu\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt}+ {\color{orange}{g(t)}}\mu{\color{cyan}{y_h}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{d\mu}{dt}\color{cyan}{y_h} + \mu\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt}+ {\color{orange}{g(t)}}\mu{\color{cyan}{y_h}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{d\mu}{dt}\color{cyan}{y_h} + \mu(\underbrace{\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{cyan}{y_h}}}_{0}) &= {\color{orange}{b(t)}} \end{align} \]

Note que o termo $\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{cyan}{y_h}} = 0$, resultando em:

\[ \begin{align} \frac{d\mu}{dt}\color{cyan}{y_h} &= {\color{orange}{b(t)}} \end{align} \]

Resolva a equação para $\mu(t)$ por integração:

\[ \begin{align} \frac{d\mu}{dt} &= \frac{{\color{orange}{b(t)}}}{\color{cyan}{y_h(t)}} \end{align} \]

Uma vez que $\mu(t)$ é encontrada substitua em:

\[ \color{blue}{y(t)} = \mu(t)\color{cyan}{y_h(t)} \] Dessa forma se obtém a solução geral da equação não-homogênea.

A ideia toda é que funções da forma $C\color{cyan}{y_h(t)}$ são soluções para a equação homogênea, talvez possamos encontrar soluções para a equação não-homogênea permitindo o parâmetro $C$ variar, por exemplo, substituindo por uma função não-constante $\mu(t)$.

Fator de Integração e Variação de Parâmetros

Para EDO’s Lineares de 1º ordem ambos os métodos funcionam (na verdade são iguais, com diferentes explicações), mas é necessário conhecer ambos:
Para EDO’s Lineares de 2º ou mais alta ordem e sistemas o método da variação de parâmetros funciona, e o fator de integração falha;
Para muitas EDO’s Não Lineares de 1º ordem o fator de integração funciona, e a variação de parâmetros falha;

O que é uma equação diferencial linear de primeira ordem?

Diz-se que uma equação diferencial é linear quando satisfaz duas características: Cada coeficiente. e o termo de não-homogeneidade só dependem da variável independente, no caso x; A variável dependente, no caso y, e suas derivadas são de primeiro grau.

Como saber a ordem de uma equação diferencial?

Ordem e Grau de uma Equação Diferencial (y")³+3y'+6y=tan(x) tem ordem 2 e grau 3. y"+3yy'=exp(x) tem ordem 2 e grau 1. y'=f(x,y) tem ordem 1 e grau 1. M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 tem ordem 1 e grau 1.

Qual a diferença entre EDO é EDP?

Se a função desconhecida depende de uma única variável independente, temos uma equação diferencial ordinária (EDO). As equações dos exemplos anteriores são ambas ordinárias! Se derivadas parciais de uma função de duas ou mais variáveis aparecem na equação, tem-se uma equação diferencial parcial (EDP).

equações diferenciais lineares de primeira ordem