As propriedadesdas potências são aplicadas no estudo de potenciação de números reais. Essas propriedades são técnicas desenvolvidas com o objetivo de facilitar as operações entre os números que possuem expoentes, sendo muito úteis nas áreas de estudos da Física, Química e Biologia, além de serem também aplicadas constantemente no trabalho com notações científicas. Show
Existem várias propriedades aplicadas quando temos divisão ou multiplicação de potências de mesma base e potência de potência. Também há casos particulares estudados, como as potências de expoente um, expoente zero e expoente fracionário. Leia também: Notação científica – o uso de potências de base dez para representar números 1ª propriedade – Multiplicação de potências de mesma basePara simplificar a multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes. Exemplo 1: 54· 5² = 5·5·5·5·5·5 = 56 Logo, temos que: 54· 5² = 54+2=56 Se necessário, é possível encontrar a potência de 56 realizando a multiplicação sucessiva de 5 por ele mesmo 6 vezes, porém, no uso da propriedade, o interesse é representar a multiplicação de duas ou mais potências como uma potência só. Exemplo 2: 2³ · 25 · 22=23+5+2=210 2ª propriedade – Divisão de potências de mesma baseNa divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos o expoente do numerador pelo expoente do denominador. Exemplo 1: Logo, temos que: 28 : 25 = 28-5 = 2³ Note que realizar a simplificação é bem mais prático do que resolver essas potências de forma separada e depois fazer a divisão. Como ressaltado anteriormente, a intenção das propriedades é simplificar e facilitar as contas com potências. Exemplo 2: Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) 3ª propriedade – Potência de potênciaAo calcular a potência de uma potência, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes. Exemplo 1: (5³)² = (5 · 5 · 5)² = (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 56 Logo, temos que: (5³)² =53 · 2 = 56 Assim como as duas propriedades anteriores, a aplicação dessa propriedade ajuda a realizar essa operação de forma mais rápida Exemplo 2 (45)-3 = 45 · (-3) =4-15 4ª propriedade – Potência de um produtoDado um produto de dois números reais elevados a um expoente, podemos elevar cada um dos fatores a esse expoente. Exemplo: (2 · 4)3=(2 · 4)(2 · 4)(2 · 4) = 2 · 2 · 2 · 4 · 4 · 4 = 23 · 43 Logo, temos que: (2 · 4)3 = 23 · 43 5ª propriedade – Potência do quocienteConhecida como potência de um quociente e análoga à propriedade anterior, sempre que houver uma potência de um quociente, podemos calcular a potência do dividendo e a potência do divisor. Exemplo: (6 : 4)² = (6 : 4) · (6 : 4) = 6² · 4² Logo, temos que: (6 : 4)² =6² : 4² As propriedades de potências ajudam bastante na hora de resolver problemas com potências.Casos particulares de potênciaExistem alguns casos particulares de potência que merecem ser ressaltados, já que conhecer cada um deles é tão importante quanto o domínio das próprias propriedades. São eles:
→ Potência unitáriaTodo número elevado a um é ele mesmo. Exemplos: a) 123¹ = 123 b) 0,54¹ = 054 → Potência de expoente zeroTodo número diferente de zero elevado a zero é igual a um. Nesse caso existe uma restrição para a base, pois a potência 00 é uma indeterminação, ou seja, não possui uma resposta nos números reais, assim como a divisão do número zero. Exemplos: 100= 1 → Potência de uma fraçãoComo consequência da propriedade da potência de um quociente, lembrando que a fração é uma divisão, ao calcular uma potência de uma fração, podemos separar a potência desta forma: Exemplos: Leia também: Potências com expoente fracionário e decimal → Potência com um expoente negativoPara calcular a potência de um expoente negativo, escrevemos o inverso da base e trocamos o sinal do expoente. Quando a base da potência for um número inteiro, basta escrevermos um sobre a base. Exemplo: Quando a base for um número decimal, é necessário realizar a sua representação como uma fração. Quando a base é uma fração, para encontrar o inverso de uma fração, invertemos o numerador com o denominador. Exemplo: → Potência com expoente fracionárioQuando o expoente é fracionário, podemos transformar essa potência em uma radiciação. Exemplo: Leia também: Resolvendo raízes por meio da fatoração Exercícios resolvidos1) Simplificando a expressão (a3 · b-7 · a2) : (a2 · b-4)2, encontraremos: a) a/b b) ab c) b d) a²b Resolução: Letra B. Usando as propriedades de multiplicação de potência de mesma base, potência de potência e divisão de potência de mesma base, temos que: (a³ · b-7· a²) : (a² · b-4)² 02) (IFG) O valor da expressão aritmética abaixo é equivalente a: a) 8/17 b) -8/17 c) 16/17 d) -16/17 Resolução: Letra D. Resolvendo primeiro o numerador, temos que: Agora vamos resolver o denominador: Como temos uma divisão do numerador pelo denominador, vamos multiplicar pelo inverso da segunda fração: |