Quais são os elementos que pertencem ao conjunto dos números irracionais?

Fala galera, tudo bem? Os conjuntos numéricos são um dos principais conteúdos da Matemática, pois são especialmente importantes para o desenvolvimento da teoria matemática, além de terem muitas aplicações práticas.

Os conjuntos numéricos que costumamos estudar são: números naturais, números inteiros, números racionais, números irracionais, números reais e números complexos.

Nessa aula, veremos o conceito destes conjuntos e alguns exemplos. Acompanhe e boa leitura!

O que são conjuntos numéricos?

Definimos por conjunto o grupo de termos ou elementos que possuem características parecidas, que são similares em sua natureza. Esses elementos formam um conjunto. Quando estudamos Matemática, se os elementos parecidos ou com as mesmas características são números, então dizemos que esses grupos são  conjuntos numéricos.

Em geral, os conjuntos numéricos são representados graficamente ou por extenso – forma mais comum em se tratando de operações matemáticas. Quando os representamos por extenso, escrevemos os números entre chaves {}. Caso o conjunto seja infinito, ou seja, tenha incontáveis números, os representamos com reticências depois de colocar alguns exemplos. Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4…}

Os conjuntos numéricos

Existem cinco conjuntos considerados essenciais, pois eles são os mais usados em problemas e questões no estudo da Matemática. Vejamos a seguir.

Conjunto dos Números Naturais (N)

O conjunto dos números naturais é representado pela letra N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito. Exemplo:

N = {0, 1, 2, 3, 4…}

Além disso, o conjunto dos números naturais pode ser dividido em subconjuntos:

N* = {1, 2, 3, 4…} ou N* = N – {0}: conjunto dos números naturais não nulos, ou sem o zero.

Np = {0, 2, 4, 6…}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.

Ni = {1, 3, 5, 7..}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.

P = {2, 3, 5, 7..}: conjunto dos números naturais primos.

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros é representado pela maiúscula Z, e é formado pelos números inteiros negativos, positivos e o zero. Exemplo: Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}

O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos:

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos.

Z- = {…-4, -3, -2, -1, 0}: conjunto dos números inteiros não positivos.

Z*+ = {1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos e não nulos, ou seja, sem o zero.

Z*- = {… -4, -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros não positivos e não nulos.

Conjunto dos Números Racionais (Q)

Números racionais são aqueles que podem ser representados em forma de fração. O numerador e o denominador da fração precisam pertencer ao conjunto dos números inteiros e, é claro, o denominador não pode ser zero, pois não existe divisão por zero.

O conjunto dos números racionais é representado pelo Q. Os números naturais e inteiros são subconjuntos dos números racionais, pois todos os números naturais e inteiros também podem ser representados por uma fração. Além destes, números decimais e dízimas periódicas também estão no conjunto de números racionais.

Vejamos um exemplo de um conjunto de números racionais com 4 elementos:

Qx = {-4, ⅛, 2, 10/4}

Também temos subconjuntos dos números racionais:

Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado pelos números racionais seem o zero.

Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, formado pelos números racionais positivos.

Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos e não nulos.

Q- = subconjunto dos números racionais não positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.

Q*- = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais negativos e não nulos.

Conjunto dos Números Irracionais (I)

O conceito de números irracionais é dependente da definição de números racionais. Assim, pertencem ao conjunto dos números irracionais os números que não pertencem ao conjunto dos racionais.

Em outras palavras, ou um número é racional ou é irracional. Não há possibilidade de pertencer aos dois conjuntos ao mesmo tempo. Por isso, o conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos números racionais dentro do universo dos números reais.

Outra forma de saber quais números formam o conjunto dos números irreais é saber que os números irracionais não podem ser escritos em forma de fração. Isso acontece, por exemplo, com decimais infinitos e raízes não exatas.

Os decimais infinitos são números que têm infinitas casas decimais e que não são dízimas periódicas. Como exemplo, temos 0,12345678910111213, π, √3 etc.

Conjunto dos Números Reais (R)

O conjunto dos números reais é representado pelo R e é formado pela junção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. Não esqueça que o conjunto dos racionais é a união dos conjuntos naturais e inteiros. Podemos dizer que entre dois números reais existem infinitos números.

Entre os conjuntos números reais, temos:

R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.

R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.

R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.

R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.

R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.

Conjunto dos Números Complexos (C)

O  conjunto dos números complexos surgiu da necessidade de encontrar raízes não reais de equações de grau maior ou igual a 2. Isso porque há equações do segundo grau que possuem Δ < 0, ou seja, não possuem raízes reais. Para encontrar essas raízes, o conjunto dos números complexos foi criado.

Os elementos desse conjunto, representado pela letra C, são definidos assim:

x é um número complexo se x = a + bi, em que a e b são números reais e i = √-1.

Tem dúvidas e quer aprender uma pouco mais? Assista a minha videoaula:

É isso aí, estudante! Espero que você tenha entendido um pouco melhor sobre conjuntos numéricos. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!

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