Sejam os números 12, 18 e 30 e os conjuntos D(12), D(18) e D(30) de seus respectivos divisores, que são finitos e ordenados. Show
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Considerando agora o conjunto dos divisores comuns, isto é, o conjunto interseção de D(12), D(18) e D(30). D(12) ∩ D(18) ∩ D(30) = {1, 2, 3, 6} que é um conjunto finito e ordenado. Como:
Então, definimos: Máximo Divisor Comum de dois ou mais números, ao maior valor da interseção dos conjuntos dos divisores dos números dados. Conteúdo deste artigo
Cálculo do MDC de vários números1º Processo: decomposição em fatores primosInicialmente, vejamos o que deve ocorrer com os fatores de um número D para que ele seja divisor de um outro número N. Assim, por exemplo, 6 é divisor de 30. Como: 6 = 2 x 3 e 30 = 2 x 3 x 5, Vemos que os fatores primos de 6 estão contidos nos fatores primos de 30. Do mesmo modo, 9 é divisor de 54: 9 = 32 e 54 = 2 x 33. Também se vê que os fatores primos do número 9 estão contidos nos fatores primos de 54. Já, por outro lado, 9 não é divisor de 24 e vê-se que: 9 = 32 e 24 = 23 x 3. Os fatores primos (3 x 3) do número 9 não estão contidos nos fatores primos (2 x 2 x 2 x 3) do número 24, que contém um só fator 3. Então, podemos dizer:
Seja, então, calcular o m.d.c. (72, 120, 420) Para facilitar a compreensão do conceito vamos apresentar inicialmente uma abordagem detalhada e descritiva para em seguida, mostrar o método prático. D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} D(120) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120} D(420) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420} Os divisores comuns de 72, 120 e 420 são os elementos do conjunto D(72) ∩ D(120) ∩ D(420) = {1, 2, 3, 6, 12) = D(12) O maior desses divisores comuns (12) é chamado máximo divisor comum de 72, 120 e 420. Escrevemos: M.D.C (72, 120, 420) = 12 Em seguida, vamos apresentar o método prático, usando a decomposição em fatores primos. Decompondo-se os números em fatores primos, obteremos: 72 = 23 x 32 120 = 23 x 3 x 5 420 = 22 x 3 x 5 x 7 O número D – divisor comum de 72, 120 e 420 – deverá conter apenas os fatores primos comuns a 72, 120 e 420, para ser divisor dos três. Esses fatores primos comuns são os números 2 e 3. Todavia para ser o maior divisor comum devemos tomar 22 x 31 porque 22 está contido em todas as decomposições, assim como 31. Para se calcular o M.D.C. de vários números, conclui-se a regra:
Exemplo: Calcular o M.D.C. (816, 360). 816 = 24 x 3 x 17 360 = 23 x 32 x 5 M.D.C. = 23 x 31 = 8 x 3 = 24 2º Processo: método das divisões sucessivasPara se achar o M.D.C. de dois números, divide-se o maior pelo menor. A seguir, divide-se o menor pelo resto da divisão entre o maior e o menor. A seguir, divide-se o 1º resto pelo 2º resto e assim sucessivamente. Quando se obtiver um resto zero, o último divisor é o M.D.C. procurado. Exemplo: Calcular o M.D.C. (258, 120) 3º Processo: método da decomposição simultâneaNesse caso, a cada passo decomposição, vamos assinalar com “asterisco” cada fator que é divisor comum de todos os números à esquerda da linha do algoritmo. Exemplo Calcular o M.D.C. (420, 600). O M.D.C. é dado pelo produto dos fatores que estão assinalados com “asterisco”. M.D.C. (420, 600) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 Máximo Divisor Comum de mais de dois númerosCalcular o M.D.C. (240, 180, 72, 54). Neste caso, utilizamos o método das divisões sucessivas em etapas, conforme podemos observar no esquema seguinte, onde chamamos de R1 e R2 os resultados parciais e R o resultado final. R1 = 60 R2 = 18 R = 6 ou M.D.C. (240, 180, 72, 54) = 6 Exercícios resolvidos1º) (ENEM) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m. Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir: A) 105 peças. Vamos obter o M.D.C. (540, 810, 1080) porque desejamos cortar as tábuas em pedaços iguais, sem deixar sobras, e atendendo ao requisito de que as novas peças tenham o maior tamanho possível. Além disso, devemos observar que o comprimento de cada peça deve ser menor que 2m, ou seja, 200 cm. O M.D.C. (540, 810, 1080) = 2 x 3 x 3 x 3 x 5 = 270 > 200 Para obter o comprimento de cada peça, devemos encontrar o maior divisor de 270 que é 135. Dividindo cada tábua por 135 cm e multiplicando pela respectiva quantidade de tábuas de cada tipo, temos: Tipo I: 540 ÷ 135 = 4 x 40 = 160 Tipo II: 810 ÷ 135 = 6 x 30 = 180 Tipo III: 1080 ÷ 135 = 8 x 10 = 80 Total de peças: 160 + 180 + 80 = 420 Resposta: letra E 2º) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos: 1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão; 2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos; 3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos). O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é: A) 2 Pela decomposição dos números 320 e 420, temos: 320 = 26 x 5 420 = 24 x 52 O M.D.C. (320, 420) = 24 x 5 = 80 ingressos para cada escola 320 ÷ 80 = 4 400 ÷ 80 = 5 Portanto, o total de peças é 4 + 5 = 9 Resposta: letra C Leia também:
Referências bibliográficas: 1. LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A Matemática do Ensino Médio. vol. 1. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2012. 2. MOREIRA, Carlos T. de A.; SALDANHA, Nicolau C.; MARTINEZ, Fábio E. B. Tópicos em Teoria dos Números, Coleção PROFMAT, 2012. 3. HEFEZ, Abramo. Elementos de Aritmética. Coleção Textos Universitários, SBM. Edição 2006. Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/maximo-divisor-comum-mdc/ Qual é o MDC de 18 é 12?Como exemplo, vamos calcular o MDC dos números 12 e 18. Inicialmente decompomos estes números em seus fatores primos (para encontrar os divisores): Agora podemos exibir o conjunto dos divisores D(12,18) = {2,3,6}, pois 2|12 e 2|18, 3|12 e 3|18, 6|12 e 6|18. mdc(12,18) = max{i: i pertença à D(12,18)} = max{2,3,6} = 6.
Qual é os divisores de 12 é 18?Os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6, 12. Os divisores de 18 são 1, 2, 3, 6, 9, 18. Os divisores comuns de 12 e 18 são 1, 2, 3, 6; entre os divisores comuns de 12 e 18, o 6 é maior do que qualquer dos outros.
Qual é o MDC de 12?Por exemplo, o número 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Se dividirmos 12 por esses números obteremos um resultado exato, sem que haja um resto na divisão. Quando um número tem apenas dois divisores, ou seja, ele é divisível somente por 1 e por ele mesmo, eles são chamados de números primos.
Como fazer o MMC de 12 é 18?Para calcular o MMC, basta multiplicar 2² por 3². Portanto, o MMC entre 12 e 18 é igual a 4.9 = 36.
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