Quantos números de três algarismos podemos formar com os elementos do conjunto 1 2 3 4 5 6?

Matemática

Na Análise Combinatória, os agrupamentos de elementos que se diferem entre si pela ordem ou pela natureza dos elementos são chamados de Arranjos. Por exemplo, em uma situação envolvendo os números 2, 4, 6 e 8, se formarmos números de três algarismos distintos, podemos ter a seguinte situação:

246 ≠ 642

Observe que os mesmos elementos formam números diferentes, essa é uma característica marcante no agrupamento por Arranjos. O número total de Arranjos de um grupo de elementos pode ser calculado pela expressão:

Na resolução dessa fórmula devemos lembrar que o símbolo matemático dado por ! (fatorial), significa a multiplicação do número indicado por todos os seus antecessores naturais com ausência do zero. Por exemplo:

4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800

Exemplo 1

Quantos números de três algarismos diferentes podemos escrever com os elementos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Vamos arranjar os números da seguinte forma: 9 elementos agrupados 3 a 3.

Exemplo 2

Em uma sala de espera existem 8 cadeiras. Considerando que em um dia 12 pessoas esperavam para serem atendidas, determine quantas maneiras diferentes essas pessoas podem se sentar.

Exemplo 3

Uma associação é formada por 20 membros. Considerando que a diretoria é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro, determine de quantas maneiras é possível formar a diretoria.

Exemplo 4

Dado os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, determine a quantidade de números pares de 5 algarismos não repetidos que podemos formar.

Dos algarismos fornecidos temos que 4 são pares, dessa forma, os números a serem formados devem terminar com eles. Observe:
____ ____ ____ ____ 2
____ ____ ____ ____ 4
____ ____ ____ ____ 6
____ ____ ____ ____ 8

Assim, escreveremos A8,4 números de 4 algarismos, e como são 4 possibilidades de terminação, o resultado de A8,4, deverá ser multiplicado por 4.

- OperaÇÕes Com PolinÔmios
Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso Colégio Estadual Dinah Gonçalves www.accbarrosogestar.wordpress.com email [email protected] HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com extraído do http://jmpmat2.blogspot.com/...

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- Anagrama
O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase, com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido. É calculado através da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial...

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ADIÇÃO DE POLINÔMIOS EXEMPLO Vamos calcular: (3x²- 6x + 4) + (2x² + 4x – 7)= =3x²-6x+4+2x²+4x-7= =3x²+2x²-6x+4x+4-6= =5x²-2x-3 EXERCÍCIOS 1) Efetue as seguintes adições de polinômios: a) (2x²-9x+2)+(3x²+7x-1) _______ (R:5x² -2x...

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Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Ensino M�dio

Exercicios de An�lise Combinat�ria

Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Quinze Exerc�cios de permuta��es simples
• 2 Dez Exerc�cios de permuta��es com repeti��o
• 3 Dois Exerc�cios de permuta��es circulares
• 4 Trinta e tr�s Exerc�cios de combina��es simples
• 5 Dois Exerc�cios de combina��es com repeti��o
• 6 Doze Exerc�cios de arranjos simples
• 7 Dezessete Exerc�cios de arranjos com repeti��o
• 8 Nove Exerc�cios de arranjos condicionais
• 9 Dezesseis Exerc�cios com o fatorial
• 10 Tr�s Exerc�cios com a regra do produto

Na p�gina An�lise Combinat�ria, voc� encontra a teoria necess�ria para resolver os exerc�cios aqui propostos, sendo que alguns deles possuem resposta ou alguma ajuda. Nem sempre os exerc�cios aparecem em ordem de dificuldade crescente.

1 Quinze Exerc�cios de permuta��es simples

1. Com as vogais: \(AEIOU\), quantas permuta��es podem ser formadas com as letras: \(A\), \(E\) e \(I\).
2. De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?
   Aux�lio: \(P(n)=n!, n=3\)
   Resposta: \(N=1{\times}2{\times}3=6\)
3. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?
   Aux�lio: \(P(n)=n!, n=5\)
   Resposta: \(N=1(2)(3)(4)(5)=120\)
4. Qual � o n�mero poss�vel de anagramas que se pode montar com as letras da palavra \(AMOR\)?
   Aux�lio: \(P(n)=n!, n=4\)
   Resposta: \(N=1(2)(3)(4)=24\)
5. Quantos n�meros com cinco algarismos podemos construir com os n�meros �mpares 1,3,5,7,9.
   Resposta: \(P(5)=120\).
6. Quantos n�meros com cinco algarismos podemos construir com os n�meros �mpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.
   Aux�lio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos.
   Resposta: \(N=2{\times}P(4)=2{\times}24=48\)
7. Consideremos um conjunto com \(n\) letras. Quantas permuta��es come�am por uma determinada letra?
   Resposta: \(N=P(n-1)=(n-1)!\)
8. Quantos s�o os anagramas poss�veis com as letras: \(ABCDEFGHI\)?
   Resposta: \(P(9)=9!\)
9. Quantos anagramas existem com as letras: \(ABCDEFGHI\), iniciando por \(A\)?
   Resposta: \(P(8)=8!\)
10. Quantos anagramas existem com as letras: \(ABCDEFGHI\), iniciando por \(AB\)?
    Resposta: \(P(7)=7!\)
11. Quantos anagramas existem com as letras: \(ABCDEFGHI\), iniciando por \(ABC\)?
    Resposta: \(P(6)=6!=720\)
12. Quantos anagramas existem com as letras: \(ABCDEFGHI\), iniciando por uma das letras \(A\) ou \(B\) ou \(C\)?
    Aux�lio: Come�ando por uma das letras \(A\) ou \(B\) ou \(C\): \(P(8)=8!\)
    Resposta: \(N=3{\times}P(8)=3{\times}8!\)
13. Quantos s�o os anagramas poss�veis com as letras: \(ABCDEFGHI\), come�ando pelas tr�s letras do grupo \(ABC\)?
    Aux�lio: Come�ando pelas letras do grupo \(ABC\): \(P(3)=3!=6\)
    Resposta: \(N=P(3){\times}P(6)=6{\times}720=4320\)
14. Quantos s�o os anagramas poss�veis com as letras: \(ABCDEFGHI\), come�ando por uma vogal e terminando por uma consoante?
    Aux�lio: 3 s�o as vogais e 6 s�o as consoantes.
    Resposta: \(N=P(3){\times}P(6)=6{\times}720=4320\)
15. H� 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntos?
    Aux�lio: Temos 4 grupos de camisas, logo \(P(4)\) posi��es para as equipes e os grupos podem permutar as suas posi��es, respectivamente, \(P(3)\), \(P(3)\), \(P(2)\) e \(P(2)\).
    Resposta: \(N=P(4){\times}P(3){\times}P(3){\times}P(2){\times}P(2)=3456\)

2 Dez Exerc�cios de permuta��es com repeti��o

1. Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ARARA\)?
   Aux�lio: A letra \(A\) aparece 3 vezes e a letra \(R\) aparece 2 vezes.
   Resposta: \(P_r(5;3+2)=\dfrac{5!}{3!2!}=10\)
2. Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ULYSSES\)?
3. Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ULYSSES\) iniciando por U?
4. Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ULYSSES\) terminando por S?
5. Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ULYSSES\) iniciando por \(U\) e terminando por \(S\)?
6. Quantos anagramas existem com as letras da palavra \(AMA\)?
   Aux�lio: \(p_1=n(A)=2\), \(p_2=n(M)=1\), \(N=P_r(3;2+1)\), \(P_r(p;p_1+p_2)= \dfrac{(p_1+p_2)!}{p_1!p_2!}\)
   Resposta: \(N=\dfrac{3!}{2!1!}=3\)
7. Quantos anagramas existem com as letras da palavra \(AMAR\)?
   Aux�lio: \(N=\dfrac{(p_1+p_2+p_3)!}{p_1!p_2!p_3!}, A=2, M=1, R=1\)
   Resposta: \(N=\dfrac{4!}{2!1!1!}=12\)
8. Quantos anagramas existem com as letras da palavra \(ARARUNA\)?
   Aux�lio: \(N=\dfrac{(p_1+p_2+p_3+p_4)!}{p_1!p_2!p_3!p_4!}\), \(A=3\), \(R=2\), \(N=1\), \(U=1\)
   Resposta: \(N=\dfrac{7!}{3!2!1!1!}=420\)
9. O n�mero \(\pi\) com 10 algarismos (sem colocar a v�rgula) � indicado por \(3141592653\). Quantas s�o as permuta��es diferentes que podemos construir com estes 10 algarismos
   Aux�lio: \(n(1)=n(3)=n(5)=2, n(2)=n(4)=n(6)=n(9)=1\)
   Resposta: \(P_r(10,2+1+2+1+2+1+1)=\dfrac{10!}{8}=453600\)
10. Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(MATEMATICA\)?
    Aux�lio: A letra \(A\) aparece 3 vezes, a letra \(M\) aparece 2 vezes, a letra \(T\) aparece 2 vezes, a letras \(E\) aparece 1 vez , a letra \(I\) aparece 1 vez e a letra \(C\) aparece 1 vez.
    Resposta: \(P_r(10;3+2+2+1+1+1)=\dfrac{10!}{3!2!2!1!1!1!}=151200\)

3 Dois Exerc�cios de permuta��es circulares

1. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa circular?
   Aux�lio: \(N=P(n-1)=(n-1)!, n=5\)
   Resposta: \(N=1(2)(3)(4)=24\)
2. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa retangular?
   Aux�lio: \(N=P(n-1)=(n-1)!, n=5\)
   Resposta: \(N=1(2)(3)(4)=24\)

4 Trinta e tr�s Exerc�cios de combina��es simples

1. Um indiv�duo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poder� empacotar tais livros em grupos de 6 livros?
2. Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?
   Aux�lio: \(C=C(m,p)=\dfrac{m!}{p!(m-p)!}; m=8,p=3\)
   Resposta: \(C=\dfrac{8!}{3!5!}=\dfrac{8(7)(6)}{1(2)(3)}=56\)
3. Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?
   Aux�lio: \(C=C(m,p)=\dfrac{m!}{p!(m-p)!}, m=1000, p=2\)
   Resposta: \(C=\dfrac{1000!}{2!998!}=\dfrac{1000{\times}999}{2}=499500\)
4. Quantas combina��es com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?
   Aux�lio: \(C=C(m,p)=\dfrac{m!}{p!(m-p)!}, m=10, p=4\)
   Resposta: \(C=\dfrac{10!}{4!6!}=\dfrac{10(9)(8)(7)}{1(2)(3)(4)}=210\)
5. Quantas combina��es com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra \(A\)?
   Aux�lio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=1, p_1=1\)
   Resposta: \(C=C(1,1).C(9,3)=\dfrac{1(9)(8)(7)}{6}=84\)
6. Quantas combina��es com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras \(A\) e \(B\)?
   Aux�lio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=2, p_1=2\)
   Resposta: \(C=C(2,2).C(8,2)=\dfrac{1{\times}8{\times}7}{2}=28\)
7. Quantas combina��es com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que n�o contenham nem as letras \(A\) e \(B\)?
   Aux�lio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=2, p_1=0\)
   Resposta: \(C=C(2,0).C(8,4)=\dfrac{1{\times}8{\times}7{\times}6{\times}5}{24}=70\)
8. Quantas combina��es com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras \(A\) ou \(B\) esteja presente, mas n�o as duas?
   Aux�lio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=2, p_1=1\)
   Resposta: \(C=C(2,1).C(8,3)=\dfrac{2{\times}8{\times}7{\times}6}{6}=112\)
9. Quantas combina��es com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que cont�m 2 dentre as 3 letras \(A\), \(B\) e \(C\)?
   Aux�lio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=3, p_1=2\)
   Resposta: \(C=C(3,2).C(7,2)=\dfrac{3{\times}7{\times}6}{2}=63\)
10. Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comiss�es podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?
11. Calcular o valor de \(m\) tal que \(5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2)\).
12. Quantos tri�ngulos podem ser tra�ados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?
13. Quantos quadril�teros convexos podem ser tra�ados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?
14. Em uma classe com 16 pessoas, h� 10 homens e 6 mulheres. Consideremos \(H\) um certo homem e \(M\) uma certa mulher. Quantos grupos podemos formar:
    1. com 4 homens e 2 mulheres?
    2. contendo \(H\) mas n�o \(M\)?
    3. contendo \(M\) mas n�o \(H\)?
    4. contendo \(H\) e \(M\)?
    5. contendo somente \(H\) ou somente \(M\)?
15. Quantos n�meros diferentes maiores do que 100 e menores do que 1000 podem ser constru�dos com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, sendo:
    1. que cada algarismo aparece somente uma vez?
    2. que cada algarismo pode repetir at� 3 vezes?
    3. os n�meros pares sem repeti��o?
    4. os n�meros �mpares sem repeti��o?
    5. os n�meros pares com repeti��o?
    6. os n�meros �mpares com repeti��o?
16. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, formamos comiss�es com 3 professores e 2 alunos. Quantas s�o as possibilidades?
    Resposta: \(N=C(6,3){\times}C(4,2)=20{\times}6=120\)
17. Desejamos formar comiss�es de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comiss�es ter�o somente 1 professor?
18. Desejamos formar comiss�es de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comiss�es ter�o somente 2 professores?
19. Desejamos formar comiss�es de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comiss�es ter�o no m�nimo 2 professores?
20. Desejamos formar comiss�es de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comiss�es ter�o no m�nimo 3 professores?
21. Num plano existem 4 pontos, sendo que 3 deles s�o n�o colineares. Qual � o n�mero poss�vel de retas que passam por esses pontos?
    Resposta: \(C(4,2)=6\)
22. Num plano colocamos n pontos, sendo que 3 deles s�o n�o colineares. Qual � o n�mero poss�vel de retas que passam por esses pontos?
    Resposta: \(C(n,2)=n(n-1)/2\)
23. Quatro pontos s�o postos num plano, sendo que 3 deles s�o n�o colineares. Qual � o n�mero poss�vel de tri�ngulos constru�dos com esses pontos?
    Aux�lio: \(C(3,2)=3\) tri�ngulos para cada ponto.
24. Qual � o n�mero de diagonais de um pol�gono regular de n lados?
    Resposta: \(N=C(n,2)-n=n(n-1)/2-n=n(n-3)/2\)
25. Qual � o n�mero de diagonais de um cubo?
26. Qual � o n�mero de diagonais de um prisma regular cuja base tem 5 lados?
27. Qual � o n�mero de diagonais de um prisma regular cuja base tem 6 lados?
28. Qual � o n�mero de diagonais de um prisma regular cuja base tem n lados?
29. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, construir o conjunto que cont�m todas as combina��es tomadas 2 a 2.
30. Com as letras: A,B,C,D,E,F,G e H, determinar o n�mero das permuta��es poss�veis que come�am por ABC.
    Resposta: \(N=P(5)=120\).
31. Quantas digonais possui um dodec�gono?
    Resposta: \(N=12{\times}9/2=54\)
32. Quantas digonais possui o tetraedro regular?
    Resposta: \(N=0\)
33. Quantas digonais possui um prisma triangular regular?
    Resposta: \(N=0\)

5 Dois Exerc�cios de combina��es com repeti��o

1. Qual � o n�mero de combina��es com 4 elementos tomados com repeti��o de 7 livros.
   Aux�lio: \(C_r=C_r(m,p)=C(m+p-1,p), m=7, p=4\)
   Resposta: \(C_r=C_r(7,4)=C(7+4-1,4)=C(10,4)=210\)
2. Determinar o n�mero de combina��es com repeti��o de 4 objetos tomados 2 a 2.
   Aux�lio: \(C_r=C_r(m,p)=C(m+p-1,p), m=4, p=2\)
   Resposta: \(C_r=C_r(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=10\)

6 Doze Exerc�cios de arranjos simples

1. Quantos n�meros diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
   Resposta: \(N_1=A(9,1)=9\)
2. Quantos n�meros distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os d�gitos: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
   Aux�lio: Os n�meros iniciados por 0 n�o ter�o 2 d�gitos e sua quantidade corresponde a \(A(9,1)\).
   Resposta: \(N_2=A(10,2)-A(9,1)=10{\times}9-9=90-9=81\)
3. Quantos n�meros distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com os d�gitos: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
   Aux�lio: Os n�meros iniciados por 0 n�o ter�o 3 d�gitos e sua quantidade corresponde a \(A(9,2)\).
   Resposta: \(N_3=A(10,3)-A(9,2)=720-72=648\)
4. Quantos n�meros distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
   Aux�lio: Os n�meros iniciados por 0 n�o ter�o 3 d�gitos e sua quantidade corresponde a \(A(9,3)\).
   Resposta: \(N_4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=4536\)
5. Quantos n�meros distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos diferentes da cole��o: \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\).
   Resposta: \(N=N_1+N_2+N_3+N_4=9+81+648+4536=5274\)
6. No sistema decimal de numera��o, quantos n�meros existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?
   Aux�lio: A quantidade de n�meros distintos com 4 algarismos � 4536 e a quantidade total de n�meros (com repeti��o ou n�o) com 4 algarismos � 9000.
   Resposta: \(N=9000-4536=4464\)
7. Com as 5 vogais: \(A\), \(E\), \(I\), \(O\), \(U\), obter o conjunto solu��o que cont�m todos os arranjos tomados 2 a 2.
8. Usando-se apenas os algarismos \(1,3,5,7,9\) quantos n�meros com 3 algarismos podem ser montados?
   Aux�lio: \(A=A(m,p)=\dfrac{m!}{(m-p)!}, m=5, p=3\)
   Resposta: \(A=\dfrac{5!}{2!}=60\)
9. Usando-se os algarismos \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\) quantos n�meros com 4 algarismos podem ser montados?
   Aux�lio: \(A=A(m,p)=\dfrac{m!}{(m-p)!}, m=10, p=4\)
   Resposta: \(A=\dfrac{10!}{6!}=5040\)
10. Usando-se as 26 letras do alfabeto: \(A\), \(B\), \(C\), \(D,...\), \(Z\) quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?
    Aux�lio: \(A=A(m,p)=\dfrac{m!}{(m-p)!}, m=26, p=3\)
    Resposta: \(A=\dfrac{26!}{23!}=26.25.24=15600\)
11. Com 26 letras do alfabeto: \(A\), \(B\), \(C\), \(D,...\), \(Z\) e os algarismos \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\) quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?
    Aux�lio: \(A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4\)
    Resposta: \(A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000\)
12. Consideremos um baralho contendo 52 cartas distintas.
    1. Quantos pares distintos podem ser formados?
    2. Quantas trincas distintas podem ser formados?
    3. Quantas quadras distintas podem ser formados?
    4. Quantos pares distintos podem ser formados tendo pelo menos um �s?
    5. Quantos pares distintas podem ser formados tendo pelo menos um �s e um Rei?
    6. Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um �s?
    7. Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um �s e um Rei?

7 Dezessete Exerc�cios de arranjos com repeti��o

1. Quantos n�meros com 4 algarismos podemos formar com os algarismos: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
   Resposta: \(A_r(10,4)=10^4=10000\)
2. Quantas palavras com 3 letras podemos formar com as 26 letras de nosso alfabeto?
   Resposta: \(A_r(26,3)=26^3=17576\)
3. Quantas placas s�o poss�veis em nosso sistema de tr�nsito, se em todas devem aparecer 3 letras seguidas por 4 n�meros?
   Resposta: \(N=A_r(26,3) \cdot A_r(10,4)=175760000\)
4. No sistema decimal de numera��o, quantos n�meros existem com 1 algarismo?
   Resposta: \(N_1=A_r(10,1)-A_r(10,0)=10-1=9\)
5. No sistema decimal de numera��o, quantos n�meros existem com 2 algarismos (repetidos ou n�o)?
   Aux�lio: S�o \(10=A_r(10,1)\) os n�meros com 2 d�gitos iniciados por 0.
   Resposta: \(N_2=A_r(10,2)-A_r(10,1)=10^2-10^1=100-10=90\)
6. No sistema decimal de numera��o, quantos n�meros existem com 3 algarismos (repetidos ou n�o)?
   Aux�lio: Existem \(100=A_r(10,2)\) n�meros com 3 d�gitos iniciados por 0.
   Resposta: \(N_3=A_r(10,3)- A_r(10,2)=10^3-10^2=900\)
7. No sistema decimal de numera��o, quantos n�meros existem com 4 algarismos (repetidos ou n�o)?
   Aux�lio: S�o \(100=A_r(10,3)\) os n�meros com 4 d�gitos iniciados por 0.
   Resposta: \(N_4=A_r(10,4)-A_r(10,3)=10^4-10^3=9000\)
8. No sistema decimal de numera��o, quantos n�meros existem com n algarismos (repetidos ou n�o)?
   Aux�lio: S�o \(A_r(10,n-1)\) os n�meros com \(n-1\) d�gitos iniciados por 0.
   Resposta: \(N_4=A_r(10,n)-A_r(10,n-1)=10^n-10^{n-1}=9 \cdot 10^{n-1}\)
9. Num sistema de numera��o com a base tendo b algarismos, quantos n�meros existem com n algarismos (repetidos ou n�o)?
   Aux�lio: S�o \(A_r(b,n-1)\) os n�meros com \(n-1\) d�gitos iniciados por 0.
   Resposta: \(N_4=A_r(b,n)-A_r(b,n-1)=b^n-b^{n-1}=(b-1)b^{n-1}\)
10. No sistema decimal de numera��o, existem quantos n�meros pares com 4 algarismos (repetidos ou n�o)?
11. No sistema decimal de numera��o, existem quantos n�meros �mpares com 4 algarismos (repetidos ou n�o)?
12. No sistema decimal de numera��o, existem quantos n�meros pares diferentes com 4 algarismos?
13. No sistema decimal de numera��o, existem quantos n�meros �mpares diferentes com 4 algarismos?
    Resposta: \(N=5.A(8,3)=1680\)
14. No sistema decimal de numera��o, existem quantos n�meros pares com 4 algarismos (repetidos ou n�o)?
15. No sistema decimal de numera��o, existem quantos n�meros pares com 4 algarismos (repetidos ou n�o)?
16. Quantos n�meros menores do que 10.000, podem ser formados com os algarismos \(1,2,3,4\)?
    Aux�lio: \(N=A_r(4,1)+A_r(4,2)+A_r(4,3)+A_r(4,4)\)
    Resposta: \(N=4^1+4^2+4^3+4^4= 4+16+64+256=340\)
17. Quantos n�meros de 3 d�gitos podem ser formados com 5 algarismos?
    Aux�lio: F�rmula \(A_r(m,p)=m^p, m=5, p=3\)
    Resposta: \(A_r=5^3=125\)

8 Nove Exerc�cios de arranjos condicionais

1. Quantos arranjos dos elementos \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\) tomados 4 a 4, come�am com duas letras dentre \(A\), \(B\) e \(C\)?
   Aux�lio: \(N=A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1), m=7, p=4, m_1=3, p_1=2\)
   Resposta: \(N=A(3,2).A(4,2)=3!/1! \cdot 4!/2!=72\)
2. Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, tomados 6 a 6, quantos n�meros podem ser formados tendo nas duas posi��es iniciais algarismos que s�o n�meros �mpares?
   Aux�lio: \(N=A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1), m=10, p=6, m_1=5, p_1=2\)
   Resposta: \(N=A(5,2).A(5,4)=20{\times}120=2400\)
3. Dentre os arranjos de 5 letras: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), tomados 3 a 3, quantos cont�m a letra \(E\)?
   Aux�lio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=5\), \(p=3\), \(m_1=1\), \(p_1=1\)
   Resposta: \(N=(3-1+1).A(1,1).A(4,2)=36\)
4. Dentre os arranjos de 5 letras: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), tomados 3 a 3, quantos cont�m juntas as duas letras \(A\) e \(B\)?
   Aux�lio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=5\), \(p=3\), \(m_1=2\), \(p_1=2\)
   Resposta: \(N=(4-2+1).A(2,2).A(3,1)=18\)
5. Dos arranjos de 6 letras: \(A,B,C,D,E,F\), tomados 4 a 4, quantos cont�m a letra \(A\)?
   Aux�lio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=6\), \(p=4\), \(m_1=1\), \(p_1=1\)
   Resposta: \(N=(4-1+1).A(1,1).A(5,3)=240\)
6. Dentre os arranjos das letras: \(A,B,C,D,E,F\), tomados 4 a 4, quantos cont�m juntas 2 das 3 letras \(A\), \(B\) e \(C\)?
   Aux�lio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=6\), \(p=4\), \(m_1=3\), \(p_1=2\)
   Resposta: \(N=(4-2+1).A(3,2).A(3,2)=108\)
7. Dos arranjos das letras: \(A,B,C,D\), tomados 3 a 3, quantos cont�m a letra \(A\)?
   Aux�lio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=4\), \(p=3\), \(m_1=1\), \(p_1=1\)
   Resposta: \(N=(3-1+1).A(1,1).A(3,2)=18\)
8. Dentre os arranjos das letras: \(A,B,C,D\), tomados 3 a 3, quantos come�am pelas letras \(A\) e \(B\)?
   Aux�lio: \(N=A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1), m=4, p=3, m_1=2, p_1=2\)
   Resposta: \(N=A(2,2).A(2,1)=4\)
9. Dentre os arranjos de 4 letras: \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\), tomados 3 a 3, quantos cont�m juntos as letras \(A\) e \(B\)?
   Aux�lio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=4\), \(p=3\), \(m_1=2\), \(p_1=2\)
   Resposta: \(N=(3-2+1).A(2,2).A(2,1)=8\)

9 Dezesseis Exerc�cios com o fatorial

1. Se \(C(n,2)=28\), qual � o valor de \(n\)?
   Resposta: \(n=8\).
2. Existe um n�mero \(n\) natural tal que \(C(n,3)=C(n,2)\)?
3. Usando o desenvolvimento binomial de \((1+1)^n\), demonstrar que:

   \(C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2^n\)

4. Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para demonstrar que:

   \((p+1)C(n,p+1)=(n-p)C(n,p)\)

5. Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para mostrar que:

   \(n \cdot C(n-1,p)=(n-p) \cdot C(n,p)\)

6. Se \(A(n,2)=42\), qual � o valor de \(n\)?
   Resposta: \(n=7\).
7. Justificar a afirma��o: Se \(n\) � um n�mero primo e \(p<n\), ent�o \(n\) � um divisor de \(C(n,p)\).
8. Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para mostrar que:

   \(2{\cdot}4{\cdot}6{\cdot}8{\cdot}10�...2n=(2n)n!\)

9. Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para mostrar que:

   \(1{\cdot}3{\cdot}5{\cdot}7{\cdot}9\cdots{\cdot}(2n-1)=\dfrac{(2n)!}{2^n n!}\)

10. Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para mostrar que:

    \(2{\cdot}6{\cdot}10{\cdot}14{\cdot}18{\cdot}22\cdots{\cdot}(4n-2)=\dfrac{(2n)!}{n!}\)

11. Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para demonstrar que para \(k\leq p\) vale a igualdade

    \(A(n,k)=\dfrac{A(n,p)}{A(n-k,p-k)}\)

12. Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para demonstrar que para \(k \leq n\), vale a igualdade: \(Pr(n;k+(n-k))=C(n,k)\).
13. Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para mostrar que:

    \(1(1!)+2(2!)+3(3!)+...+n(n!)=(n+1)!-1\)

14. Demonstrar que para todo n�mero \(k\) natural: \(\dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!} =\dfrac{k}{(k+1)!}\).
15. Demonstrar que:

    \(\dfrac{1/2!+2/3!+3/4!+...+n}{(n+1)!}=\dfrac{1}{(n+1)!}\)

    
    Aux�lio: Como esta � uma s�rie telesc�pica, em que cada termo pode ser escrito como a diferen�a de dois outros que se anulam em sequ�ncia, basta usar o fato que para todo \(k\leq n\), vale a rela��o: \(\dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!}\).
16. Demonstrar que:

    \(A(n,p) = p[A(n-1,p-1)+A(n-2,p-1)+...+A(p-1,p-1)]\)

10 Tr�s Exerc�cios com a regra do produto

1. Numa festa, 3 meninos devem ser apresentados a 5 meninas. De quantos modos poss�veis eles podem ser apresentados?
   Aux�lio: \(N=p{\times}q, p=3, q=5\)
   Resposta: \(N=3{\times}5=15\)
2. Existem quatro estradas ligando duas cidades \(A\) e \(B\), e tr�s estradas ligando as cidades \(B\) e \(C\). De quantos modos diferentes uma pessoa pode se deslocar da cidade \(A\) at� a cidade \(C\)?
   Aux�lio: \(N=p{\times}q, p=4, q=3\)
   Resposta: \(N=4{\times}3=12\)
3. Uma sala possui 3 portas. Quantas possibilidades existem para que uma pessoa possa entrar e sair desta sala?
   Aux�lio: \(N=p{\times}q, p=3, q=3\)
   Resposta: \(N=3{\times}3=9\)

Quantos números podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 5 é 6?

Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os números 1 2 3 4 5 6 7 )?

Quantos números de 3 algarismos podem ser formados usando os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 é 9?