Observe o circuito elétrico e responda às questões considerando que a posição de uma das duas chaves

A chave na figura é movida da posição A para B em t = 0 (observe que a chave deve ser conectada ao ponto B antes de interromper a conexão com A ). Determine v t para t > 0.

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Passo 1

Acho interessante começar esse problema já considerando que a chave já está conectada ao B por um tempinho já, então o circuito se resume ah...

Onde Esse v t aí é quem devemos encontrar (tensão em cima do capacitor, embora não tenha ficado explicito no enunciado). Bora Resolver esse circuito então?

Passo 2

Bem, esse circuito pode ser resolvido usando a lei das malhas se lembrando de que a tensão em cima do indutor é v i = L   d i / d t:

- v t + 4 d i t d t + 10 i t = 0

Ainda sabemos que a tensão em cima do capacitor é...

v t = - 1 C ∫     i t d t   →

Esse menos é porque a corrente se encontra na mesma direção da tenção, ok? Derivando para tirar essa integral daí...

v ' t = - 1 C i t

Por fim, vamos só substituir o C = 0,25...

v ' t = - 1 0,25 i t

Ou seja, as duas equações diferenciais que precisamos resolve são essas aqui:

- v t + 4 d i t d t + 10 i t = 0

v ' t = - 4 i t

Passo 3

Beleza, então agora vamos resolvê-las aplicando a transformada de Laplace (nas duas equações)...

L - v t + 4 d i t d t + 10 i t = 0

L v ' t = - 4 L i t

Ora, lembrando-se das Laplaces das derivadas...

- V s + 4 s I s - i 0 + 10 I s = 0

s V s - v 0 = - 4 I s

Perceba então que temos que encontrar essas condições iniciais. Para isso, vamos utilizar aquelas informações lá sobre a chave no tempo t = 0!

Passo 4

Bem, no tempo t = 0, a chave fecha em B, mas ainda não se desconecta de A...

Show, mas antes desse momento, tínhamos uma fonte (de corrente contínua) de 20 V, duas resistências e um indutor enquanto que o capacitor estava fora da brincadeira. Ora, em corrente contínua, o indutor é um curto, logo a corrente que circulava i c i r c u l a v a não depende dele e sim da fonte e das resistências:

i c i r c u l a v a = 20 30 + 10 = 0,5 A

Quando a chave se fechou, a corrente no indutor teve que permanecer a que circulava afinal indutor impede mudanças rápidas na corrente!

Logo...

i 0 = 0,5 A

Agora, para o v 0, tensão inicial sobre o indutor, não foi dito nada no problema sobre e não tem como de calculá-las, logo a gente assume que ele estava descarregado:

v 0 = 0

Passo 5

Podemos voltar então para os nossos cálculos:

- V s + 4 s I s - i 0 + 10 I s = 0

s V s - v 0 = - 4 I s

Substituindo agora as condições que encontramos...

- V s + 4 s I s - 0,5 + 10 I s = 0

s V s = - 4 I s

Isolando I s na segunda...

I s = - 1 4 s V s

E substituindo na primeira então...

- V s + 4 - 1 4 s 2 V s - 0,5 - 10 4 s V s = 0   →

- V s - s 2 V s - 2 - 2,5 s V s = 0   →

V s - 1 - s 2 - 2,5 s = 2   →

V s = 2 - 1 - s 2 - 2,5 s     →

V s = - 2 s 2 + 2,5 s + 1  

Para inverter e encontrar a resposta pedida precisamos encontrar as raízes dessa equação do segundo grau:

Observando a figura abaixo vemos que a chave está fechada, desta forma os elétrons podem passar pela chave. Ao se moverem através da chave dizemos que há corrente elétrica no circuito, sendo assim, a lâmpada se acende. Geralmente as chaves e também os fios possuem resistência bastante pequena, se compararmos com resistências que aparecem em outros circuitos (na figura, a resistência da lâmpada).

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Assim, as situações das figuras acima são representadas pelos diagramas:

Como sabemos, os filamentos das lâmpadas não são condutores ôhmicos, isto é, não têm resistência constante. No entanto, muitas vezes consideramos essa resistência aproximadamente constante e representamos as lâmpadas como resistores.

Dessa forma, os diagramas da figura acima poderiam ser representados como nesta outra ilustração (figura abaixo), em que R é a resistência da lâmpada.

Tanto no diagrama 1 como no diagrama 2, levamos em conta o fato de que os fios de ligação e a chave têm resistência desprezível e, assim, são representados por segmentos de reta. O interruptor usado nas residências é um tipo de chave que pode interromper ou deixar passar a corrente elétrica.