Qual a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de 8 lados?

Todos sabem que a soma dos �ngulos internos de um tri�ngulo vale dois �ngulos retos. Este � um dos resultados centrais da Geometria Euclidiana. Ele se estende facilmente para mostrar que a soma dos �ngulos internos de um pol�gono convexo com n lados � igual a n

A dificuldade para pol�gonos n�o-convexos se concentra em dois pontos cruciais: o primeiro � a decomposi��o de um pol�gono, por meio de diagonais internas, em tri�ngulos adjacentes e o segundo � a pr�pria defini��o de �ngulo externo.

Nosso objetivo aqui � esclarecer esses pontos, mostrando que todo pol�gono de n lados, convexo ou n�o, decomp�e-se, mediante n

     Soma dos �ngulos internos de um tri�ngulo

Come�aremos recordando o caso de um tri�ngulo cujos �ngulos internos chamaremos de

e

. A partir de agora, a letra R significar� sempre um �ngulo reto.

Esta � a demonstra��o que os livros trazem e que n�s costumamos repetir em classe. Dentro do princ�pio de que sempre vale a pena, para quebrar a monotonia e arejar as id�ias, olhar para as coisas fundamentais sob v�rios �ngulos (sem trocadilho), vejamos duas outras demonstra��es deste fato.

Mostremos, por exemplo, como a f�rmula

+

= 2R decorre de um caso particular.

Suponhamos, ent�o, que o tri�ngulo seja ret�ngulo.   Seus �ngulos s�o  

e R.   Duas c�pias   juntas   deste   tri�ngulo   formam um ret�ngulo.  (Com efeito,   AB   � paralelo a   CA'   porque os �ngulos alternos internos s�o iguais a 

.   Como   AC   � perpendicular a AB , segue-se que

e, da�,

O caso geral reduz-se a este, baixando-se a altura sobre o maior lado. (Essa altura cai sempre no interior do tri�ngulo.) Isto decomp�e o tri�ngulo arbitr�rio em dois tri�ngulos ret�ngulos.  Usando o caso particular j� provado, e observando que

Outra maneira de provar a f�rmula

2R

= 2R

b e

= 2R

c, ter-se-� ent�o

A demonstra��o de que a + b + c = 4R se faz fixando um ponto qualquer e, a partir dele, tra�ando semi-retas paralelas aos tr�s lados do tri�ngulo. Elas determinam 3 �ngulos iguais a a, b e c os quais, juntos, d�o uma volta completa no plano, logo  a + b + c = 4R.

Nesta �ltima demonstra��o, h� um cuidado a tomar. Para cada lado do tri�ngulo, h� duas semi-retas (opostas) partindo do ponto pr�-fixado e paralelas a esse lado. Se trocarmos uma delas por sua oposta n�o teremos mais 3 �ngulos iguais a a, b e c. Para escolher as semi-retas certas, d�-se uma volta ao longo do tri�ngulo, marcando com setas o sentido do percurso (figura acima), e tomam-se as semi-retas que correspondem ao sentido de cada seta.

     Soma dos �ngulos internos de um pol�gono

Em seguida, consideremos a soma dos �ngulos internos de um pol�gono com n lados. Se ele � convexo, n�o h� dificuldade. A partir de um v�rtice qualquer, tra�amos n

5. Diagonais a partir de um v�rtice num pol�gono convexo.	6.    Neste pent�gono n�o-convexo uma diagonal partindo do v�rtice A � externa e a outra corta um lado do pent�gono.

Caso o pol�gono n�o seja convexo, a situa��o requer uma an�lise mais cuidadosa. J� n�o podemos mais tra�ar todas as diagonais a partir de um v�rtice qualquer, pois algumas delas podem ser externas ou podem cortar outros lados do pol�gono.

Inicialmente, esclare�amos que a palavra pol�gono significar� sempre pol�gono simples, isto �, uma linha poligonal fechada que pode ser inteiramente percorrida sem que se passe mais de uma vez por qualquer dos seus pontos. Algumas vezes, pol�gono significar� tamb�m a por��o do plano limitada por essa poligonal.

Chama-se diagonal a todo segmento de reta que une dois v�rtices n�o consecutivos de um pol�gono.

Mostraremos agora que, mesmo n�o sendo convexo, qualquer pol�gono pode ser decomposto em tri�ngulos adjacentes por meio de diagonais convenientes. O teorema a seguir, que exprime este fato, raramente � demonstrado, embora n�o seja t�o dif�cil assim.

Teorema 1.

Tra�ando-se diagonais internas que n�o se cortam, pode-se decompor qualquer pol�gono em tri�ngulos justapostos.

Demonstra��o:
Supondo, por absurdo, que o teorema n�o seja verdadeiro, podemos achar um pol�gono P, com n lados, o qual n�o pode ser decomposto em tri�ngulos na forma estipulada pelo enunciado. Escolhemos P de modo que o n�mero n seja o menor poss�vel. Tomamos uma reta r que n�o corte P. Chamamos de B o v�rtice de P situado � menor dist�ncia de r. (A reta r interv�m nesta demonstra��o apenas para detectar um v�rtice "saliente" do pol�gono.) Sejam A e C os v�rtices adjacentes a B. H� dois casos poss�veis:

Primeiro caso: A, B e C s�o os �nicos v�rtices do pol�gono P contidos no tri�ngulo ABC.

7. B � um v�rtice saliente. Como o tri�ngulo ABC n�o cont�m nenhum outro v�rtice de P al�m de A, B e C, a decomposi��o de P em tri�ngulos come�a tra�ando-se AC.

Neste caso, o pol�gono P', obtido de P substituindo-se os lados AB e BC por AC, tem n

8. O tri�ngulo ABC cont�m outros v�rtices de P al�m de A, B e C. Sendo D ov�rtice de P contido no tri�ngulo ABC, mais afastado de AC(D

Segundo caso: O tri�ngulo ABC cont�moutros v�rtices do pol�gono P al�m de A, B e C. Dentre eles, seja D o mais distante do lado AC. Ent�o a diagonal DB n�o pode conter outros v�rtices de P al�m de D e B. Essa diagonal, portanto, decomp�e P em dois pol�gonos adjacentes P' e P", ambos com menos lados do que P. O teorema vale, ent�o, para P' e P", que se decomp�em em tri�ngulos justapostos, na forma do enunciado. Juntando essas decomposi��es com DB, obtemos uma decomposi��o de   P.   Contradi��o. Isto prova o segundo caso .

A figura abaixo mostra o mesmo pol�gono decomposto em tri�ngulos mediante diagonais internas tra�adas de duas maneiras diferentes. Nos dois casos, o n�mero de tri�ngulos �igual e o mesmo se d� com o n�mero de diagonais. 0 teorema seguinte diz que isto n�o �uma casualidade.

9. Duas decomposi��es diferentes do mesmo pol�gono determinam 5 tri�ngulos e utilizam 4 diagonais. Experimentando outra decomposi��o qualquer, acharemos sempre estes mesmos n�meros.

Teorema 2.

Quando um pol�gono P de n lados � decomposto, tra�ando-se diagonais internasque n�o se cortam, em tri�ngulos justapostos, o n�mero de tri�ngulos � sempre n

Demonstra��o:

Supondo, por absurdo, que o teorema seja, falso, consideremos P um pol�gono com o menor n�mero n de lados para o qual o teorema n�o seja v�lido. Ent�o P decomp�e-se, por meio de d diagonais internas, em   t    tri�ngulos justapostos, com    d

implicam imediatamente que t = n

 e  d = n

3. Esta contradi��o prova o teorema .

Corol�rio 1: A soma dos �ngulos internos de qualquer pol�gono (simples) de n lados � igual a    (n

Com efeito, o pol�gono decomp�e-se em n

Corol�rio 2: A soma dos �ngulos externos de qualquer pol�gono (simples) � igual a   4R .

Aqui � necess�rio lembrar corretamente as no��es de �ngulo interno e externo de um pol�gono.

Quando o pol�gono � convexo, seus v�rtices s�o todos salientes e os �ngulos internos s�o menores do que dois �ngulos retos. Em cada v�rtice, o �ngulo externo �, por defini��o, formado por um lado do pol�gono e o prolongamento do lado adjacente. Isto equivale a dizer que o �ngulo externo

Se o pol�gono n�o � convexo, ele possui v�rtices reentrantes. O �ngulo interno a num desses v�rtices reentrantes � maior do que dois �ngulos retos. 0 �ngulo externo

10. Os �ngulos externos de um pol�gono convexo s�o todos positivos. Se o pol�gono n�o � convexo, h� pelo menos um �ngulo interno

Dada esta explica��o, o Corol�rio 2 torna-se evidente. Com efeito, seja S a soma dos �ngulos externos de um pol�gono de n  lados. A soma dos �ngulos internos sendo (n

2R e cada um dos n �ngulos externos sendo o suplemento do �ngulo interno correspondente, temos  S + (n

2)

Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com 8 lados?

Qual o valor do ângulo interno de um polígono com 8 lados?

Qual a soma dos ângulos internos polígono convexo?

Quantos diagonais tem um polígono convexo de 8 lados?