Quando a matriz é invertivel

Quando uma matriz é invertível?

A matriz inversa é aquela que possui padrão semelhante à sua matriz original. … Caso este determinante seja diferente de zero, a matriz é inversível. Em situações em que o determinante é nulo, a matriz não pode ser considerada inversível. Então, sua inversa é inexistente.

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Quando uma matriz é invertível?
Como saber se a matriz é inversa ou não?
O que é matriz inversa exemplo?
Como saber se uma matriz é singular?
Quando é que uma matriz e Diagonalizavel?
Como calcular a matriz oposta?
Como saber se uma matriz e Simetrica?
Como fazer a matriz oposta?
Como saber se um sistema é possível é indeterminado?
Como descobrir o determinante de uma matriz 4×4?
Como saber se uma matriz e diagonal?
É uma matriz identidade?
Como fazer a inversa de uma matriz 2×2?
Como calcular o valor de uma matriz?
4.3 Matriz inversa
Quando que a matriz é Inversível?
Quais matrizes admitem inversa?
Como calcular matriz Inversivel?
O que é matriz inversa exemplo?

Como saber se a matriz é inversa ou não?

Para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n, basta descobrir uma matriz B tal que a multiplicação entre elas tenha como resultado uma matriz identidade de ordem n. Dizemos que B é a inversa de A e é representada por A-1.

O que é matriz inversa exemplo?

A matriz inversa ou matriz invertível é um tipo de matriz quadrada, ou seja, que possui o mesmo número de linhas (m) e colunas (n). Ela ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas).

Como saber se uma matriz é singular?

A matriz B é chamada de inversa de A. Se A não tem inversa, dizemos que A é singular (ou não invertível). Uma matriz singular não possui inversa. Uma matriz é singular se o seu determinante é nulo.

Quando é que uma matriz e Diagonalizavel?

Em álgebra linear, uma matriz quadrada A é chamada de diagonalizável se é semelhante a uma matriz diagonal, isto é, se existe uma matriz invertível P tal que P−1AP seja uma matriz diagonal.

Como calcular a matriz oposta?

Nesse mesmo sentido encontraremos o oposto de uma matriz. Dada uma matriz B = (bij) m x n, a sua matriz oposta será representada por –B. Isso significa que para encontrar o oposto de uma matriz basta tornar todos os elementos da matriz em seus opostos.

Como saber se uma matriz e Simetrica?

Para que uma matriz seja simétrica devemos ter a igualdade desta matriz com a sua transposta. Isto só será possível caso, m = n, e quando isso ocorre dizemos que a matriz é quadrada.

Como fazer a matriz oposta?

Como saber se um sistema é possível é indeterminado?

Sistema Possível e Indeterminado (SPI): esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e y assumem inúmeros valores.

Como descobrir o determinante de uma matriz 4×4?

3:059:34Clipe sugerido · 56 segundosDETERMINANTE DE UMA MATRIZ 4X4 POR TEOREMA DE LA PLACE …YouTube

Como saber se uma matriz e diagonal?

n ≥ 2é chamada de matriz diagonal se, somente se, i ≠ j for igual a zero. Observação: Isso não impede de os elementos que pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Ou seja, uma matriz onde todos os seus elementos são iguais a zero é uma matriz diagonal.

É uma matriz identidade?

A matriz identidade é diagonal e quadrada e, por isso, é considerada também uma matriz especial. Todos os elementos que compõem a sua diagonal principal são iguais ao número um e todos os elementos que compõem a diagonal secundária são iguais a zero.

Como fazer a inversa de uma matriz 2×2?

0:152:49Clipe sugerido · 57 segundosInversa de uma matriz 2×2. – YouTubeYouTube

Como calcular o valor de uma matriz?

Multiplicação de matrizes Para realizar a multiplicação, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. A matriz produto (que vem da multiplicação) possui ordem dada pela quantidade de linhas da primeira e quantidade de colunas da segunda.

4.3 Matriz inversa

Agora que temos deﬁnido um produto de matrizes, é natural de nos perguntarmos quais das propriedades usuais do produto entre números reais se mantém válidas.

Por exemplo, a matriz identidade In é a matriz quadrada de ordem n×n que tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições. No caso 3×3, temos

I3=100010001.

(4.16)

Esta matriz satisfaz AIn=A para qualquer matriz A de ordem m×n. Da mesma forma, temos InB=B para qualquer matriz B de ordem n×m (observe atentamente os índices!). O nome identidade vem desta propriedade, que é parecida com a propriedade da unidade nos números reais: 1⋅x=x=x⋅1.

Existindo a matriz identidade, outra pergunta natural é se existe um inverso multiplicativo. Para números reais, qualquer número não nulo possui:

x∈ℝ,x≠0⇒x−1=1xé um inverso multiplicativo,

(4.17)

isto é, satisfaz x⋅x−1=1.

Vamos procurar por matrizes inversas: dada uma matriz A, queremos encontrar uma matriz A −1 de modo que

AA−1=In=A−1A.

(4.18)

Escrevemos de duas formas diferentes acima, pois o produto de matrizes não é comutativo. A matriz A−1 é chamada a matriz inversa de A. Observe que A deve ser quadrada (por quê?).

4.3.1 Caso 2×2

Vamos procurar pela inversa de

Escrevemos

e queremos descobrir os valores x1,x2, y1,y2 que satisfazem

abcdx1y1x2y2=1001

(4.21)

Pela interpretação que demos anteriormente ao produto de matrizes, encontrar

x→=x1x2 ey→=y1y 2

(4.22)

é equivalente a resolver ao mesmo tempo os dois sistemas

Ax→=10= e→1eAy→=01=e→2.

(4.23)

A ideia é então resolver por escalonamento os sistemas cuja matriz aumentada associada é:

Tem-se

ab10cd 01→c⋅ℓ1 e a⋅ℓ2acbcc0acad0a →−ℓ1+ℓ2 em ℓ2ac bcc00ad−bc−ca

(4.25)

→ℓ2÷(ad−bc)a cbcc001−cad−bcaad−bc →−bcℓ2+ℓ1 em ℓ1ac0acdad−bc−abcad−bc01−cad−bcaad−bc

(4.26)

→ℓ1÷ac10 dad−bc−bad−bc01−cad−bcaad−bc.

(4.27)

Daí concluimos (depois colocar em evidência o fator ad−bc que está dividindo) que:

A−1=1ad−bcd−b −ca=1detAd−b−ca.

(4.28)

Nesta última expressão, deﬁnimos o determinante de uma matriz de ordem 2×2:

e, como foi necessário dividir por este valor, concluimos que:

só existe a matriz inversa de A caso detA≠0.

(4.30)

Observação 26.Veremos na seção seguinte que o processo que utilizamos para inverter a matriz A funciona para matrizes de qualquer ordem, mas é trabalhoso. No caso de uma matriz 2×2, talvez seja interessante memorizar a fórmula, já que não é tão complicada. Podemos pensar da seguinte maneira:

Calculamos detA. Se for diferente de zero, existe a inversa. Nós partimos de A e dividimos pelo determinante.
Em seguida, trocamos de lugar os elementos da diagonal principal (a e d).
Finalmente, trocamos o sinal dos elementos da outra diagonal.

Atenção! Este método apenas funciona para matrizes quadradas de ordem 2×2!

Exemplo 27. Sejam as matrizes

A=11−13 ,B=1011,C= −1−122.

(4.31)

Calculamos

detA=1⋅3−(−1)⋅1=4≠0.

(4.32)

Logo, A possui inversa e temos

A−1=143−11 1=3∕4−1∕41∕41 ∕4.

(4.33)

(trocamos de lugar os elementos da diagonal principal e de sinal os elementos da outra diagonal).

Façamos o mesmo para a matriz B:

detB=1⋅1−1⋅0=1≠0.

(4.34)

Logo,

B−1=111−11 1=3∕4−1∕41∕41 ∕4.

(4.35)

(trocamos de lugar os elementos da diagonal principal – neste caso eram iguais – e de sinal dos elementos da outra diagonal).

Já para a matriz C, temos

detC=(−1)⋅2−2⋅(−1)=0

(4.36)

e portanto C não é invertível (isto é, não existe a matriz inversa C−1).

4.3.2 Algoritmo para ordem maior

Considere uma matriz de ordem n×n:

A=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n ⋮⋮⋮an1an2⋯ann.

(4.37)

Para obter a matriz inversa, devemos ter:

a11a12⋯ a1na21a22⋯a2n ⋮⋮⋮an1an2⋯ annx11x12⋯ x1nx21x22⋯x2 n⋮⋮⋮xn1xn2⋯xnn=10⋯0 01⋯0⋮⋮⋮00⋯1.

(4.38)

Da mesma forma que na seção anterior, isto é equivalente a resolver simultaneamente os sistemas:

Ax→1=e→1,Ax→2 =e→2,…,Ax→n=e→n,

(4.39)

onde x→1,x→2,…,x→n são as colunas da matriz inversa A−1. Assim, devemos escrever a matriz aumentada associada a estes sistemas lineares:

a11a12⋯ a1n10⋯0a21a 22⋯a2n01⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮am1am2⋯amn00⋯1

(4.40)

ou, de forma mais sucinta,

E este é o algoritmo de resolução: Deixar a matriz A em forma escalonada reduzida (até chegar na matriz identidade) de modo que as soluções obtidas já serão a matriz inversa de A:

Observação 28.Para que seja possível encontrar as soluções, como indicado acima, a forma escalonada da matriz A deve possuir n posições de pivô (caso contrário, algum dos sistemas acima seria impossível), de modo que todas as colunas de A são colunas pivô.

Se A possuir alguma coluna sem posição de pivô, podemos parar imediatamente o algoritmo, pois isto signiﬁca que a matriz não é invertível.

Exemplo 29.Vamos decidir se a matriz abaixo é invertível e, em caso aﬁrmativo, determinar a inversa:

A=2110433187956798.

(4.43)

De acordo com o algoritmo, devemos escalonar

211010 00433101008795001067980 001.

(4.44)

Caso a matriz seja invertível, conseguiremos deixar a matriz identidade do lado esquerdo desta matriz aumentada. Começamos eliminando os termos da primeira coluna (abaixo do 2 que está na posição de pivô):

211010 000111−21000 355−40100468−3001→segunda coluna21101000011 1−210000222−31000245−401

(4.45)

→terceira211010000111−210000222−31000023−1−11→reduzida – 4 a2110100 00110−7∕23∕21∕2−1∕2 0010−1∕2−11−1∕200 023−1−11

(4.46)

→21003∕21−11∕20100−35∕2−1∕ 200010−1∕2−11−1∕200013∕2−1∕2−1∕21∕2 →10009∕4−3∕4 −1∕41∕40100−35∕2−1∕2 00010−1∕2−11−1∕200013∕2−1∕2−1∕21∕2.

(4.47)

Concluimos que

A−1=9∕4−3∕4−1∕ 41∕4−35∕2−1∕20−1∕2−11−1∕23∕2−1∕2−1∕21∕2.

(4.48)

Veriﬁque como exercício que esta matriz é de fato a matriz inversa de A, isto é, calcule o produto A⋅A−1 e veriﬁque que resulta em I4 .

Notamos que, caso nosso único interesse fosse decidir se A é invertível, sem necessariamente calcular sua inversa, poderíamos ter feito o escalonamento de A (nem precisa ser da matriz aumentada I|A−1) e parado o processo quando chegamos em

A∼2110011100220002,

(4.49)

pois já está claro que todas as colunas possuem posição de pivô.

Exemplo 30.Vamos decidir se a matriz abaixo é invertível e, em caso aﬁrmativo, determinar a inversa:

A=11113−3−3−99.

(4.50)

De acordo com o algoritmo, devemos escalonar

111100 13−3010−3−990 01.

(4.51)

Temos

111100 02−4−1100−612301→1111 0002−4−110000031.

(4.52)

Portanto, a terceira coluna não possui posição de pivô e a matriz A não possui inversa.

4.3.3 Aplicação na resolução de sistemas lineares

Sistemas lineares de ordem n×n

cuja matriz associada A é invertível, são sistemas que possuem exatamente uma solução, para qualquer vetor b→∈ℝn (ver Subseção 4.3.4).

A existência da matriz inversa A−1 permite-nos multiplicar ambos os lados do sistema por A−1 para obter x→=A−1⋅A=A−1b→. Logo,

Exemplo 31.Resolver o sistema

A=11−13 x1x2=12.

(4.55)

Já calculamos a matriz inversa no Exemplo 27:

A−1=3∕4−1∕41∕4 1∕4.

(4.56)

Segue que a solução é

x→=A−1b→=3∕4 −1∕41∕41∕412 =1∕43∕4.

(4.57)

Embora nossa solução do sistema possa parecer “elegante” ao utilizar a matriz inversa, este método é muito ineﬁciente. Na verdade, escalonar a matriz aumentada associada ao sistema exige um custo computacional muito menor do que calcular a inversa da matriz e, portanto, em geral se usa o escalonamento.

Matrizes inversas têm uma importância mais teórica no nosso curso, como veremos na subseção abaixo.

4.3.4 Uma primeira caracterização de matrizes invertíveis

Vamos, nesta subseção, veriﬁcar (provar de forma rigorosa) que

“a matriz A é invertível se, e somente se, o sistema linear Ax→=b→ possui exatamente uma solução, para qualquer vetor b→∈ℝn.”

(⇒) Se A é invertível, então conseguimos resolver todos os sistemas

Ax→1=e→1,Ax→2 =e→2,⋯,Ax→n=e→n

(4.58)

concomitantemente. De fato, qualquer vetor b→ pode ser escrito como

b→=b1b2 ⋮bn=b1e→1+b2e→2+⋯+bne→n,

(4.59)

e daí veriﬁcamos que se pode construir uma solução x→ pela fórmula

x→=b1x→1+b2x→ 2+⋯+bnx→n,

(4.60)

já que pela linearidade do produto da matriz A por vetores, temos Ax→=b1Ax →1+b2Ax→2+⋯+bnAx→n, =b1e→1+b2e→2+ ⋯+bne→n=b→.

(⇐=) Reciprocamente, suponhamos que o sistema possua exatamente uma solução, para qualquer vetor b→∈ℝ n. Em particular, podemos resolver os sitemas

Ax→1=e→1,Ax→2 =e→2,⋯,Ax→n=e→n

(4.61)

e escrever a matriz inversa de acordo com o nosso algoritmo:

A−1=|||x →1x →2⋯ x →n|||.

(4.62)

Exercícios resolvidos

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Exercícios

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Quando que a matriz é Inversível?

Para afirmar se uma matriz é inversível, ou seja, se é possível calcular a sua inversa, é necessário primeiro identificar o seu determinante. Caso este determinante seja diferente de zero, a matriz é inversível. Em situações em que o determinante é nulo, a matriz não pode ser considerada inversível.

Quais matrizes admitem inversa?

Uma matriz é chamada de inversível ou não singular se e somente se seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode ser inversível se for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero e é representada pelo número -1 sobrescrito ao nome da matriz.

Como calcular matriz Inversivel?

Para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n, basta descobrir uma matriz B tal que a multiplicação entre elas tenha como resultado uma matriz identidade de ordem n. Dizemos que B é a inversa de A e é representada por A^-¹.

O que é matriz inversa exemplo?

A matriz inversa ou matriz invertível é um tipo de matriz quadrada, ou seja, que possui o mesmo número de linhas (m) e colunas (n). Ela ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas).