Podemos afirmar que o produto do divisor pelo quociente mais o resto é igual ao dividendo

Considere a seguinte situação:

Um grupo de 25 pessoas esperava no térreo de um prédio por um elevador com capacidade máxima para apenas oito pessoas. Ao dividir o número de pessoas desse grupo pela capacidade do elevador, encontraremos o número de viagens necessárias para que todos cheguem a seus destinos.

25 = 8 + 8 + 8 + 1

Observe que serão necessárias quatro viagens para levar todo o grupo: três viagens com oito pessoas e uma viagem com apenas uma pessoa no elevador. Podemos afirmar, portanto, que a divisão de 25 por oito é igual a três, e o seu resto é um, o que também pode ser representado da seguinte forma:

25 = 3·8 + 1

O que é resto da divisão?

Repare que, no exemplo acima, na primeira viagem, foram oito pessoas e sobraram dezessete. Na segunda, entraram outras oito pessoas e sobraram nove. Na terceira viagem, oito pessoas entraram no elevador e sobrou uma. Como essa divisão é por oito e não é possível dividir uma pessoa em oito partes, então, o resto dessa divisão é um. Sabemos disso porque a divisão chegou a uma impossibilidade, ou seja, não é mais possível efetuar qualquer cálculo sobre ela.

Dessa forma, o resto é conhecido como “um número que sobra em uma divisão”. Além de sobrar, não é mais possível realizar divisões com ele.

Propriedades do resto

  • O resto (r) é menor que o divisor (d):

r < d

  • O resto (r) é sempre maior ou igual a zero:

r ≥ 0

  • As duas propriedades acima podem ser escritas de forma única:

0 ≤ r < d

  • O resto pode não existir em divisões fora do conjunto dos números inteiros.

Essa última propriedade acontece porque existem dois tipos de divisão:

⇒ Divisão entre números inteiros

Nessas divisões, por alguma razão, não é possível fracionar uma unidade e utilizar números decimais para representá-las. No exemplo do elevador, o motivo para essa impossibilidade é que cada unidade representa uma pessoa, a qual não pode ser dividida em partes iguais.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

⇒ Divisão entre números reais

Essas divisões são realizadas com objetos que podem ser fracionados, como comidas, tecidos, os próprios números reais etc.

Sendo assim, em divisões de números inteiros, caso haja resto, ele não poderá ser dividido.

Método prático para encontrar o resto

Para encontrar o resto, apenas realize a divisão. Conforme as propriedades citadas acima, haverá um momento em que não será mais possível dividir, pois o número restante será maior ou igual a zero e menor que o divisor.

Exemplos:

1 – Encontre o resto da divisão de 250 por três. Para resolver esse problema, basta utilizar o algoritmo da divisão:

250 | 3 
– 24    83   
10        
– 9         
1       

O número um é maior ou igual a zero e menor que três, que é o divisor. Assim, um é o resto. Observe que, para encontrar o resto, tivemos que fazer toda a divisão, ou seja, “descer” todos os números do dividendo até que não houvesse mais nenhum deles.

2 – Um grupo de sete amigos foi a uma pizzaria e resolveu dividir a conta igualmente, deixando para o último a ir embora o valor atribuído a cada um dos amigos, somado ao resto da divisão. Sabendo que o total gasto por eles foi de 230 reais, qual será o valor pago pelo último amigo a ir embora?

230 | 7
– 21    32  
20       
– 14          
6      

Cada amigo pagou 32 reais. O último a ir embora pagará 32 + 6, isto é, R$ 38,00.

Divisão, na Matemática, é a distribuição de determinado objeto em partes iguais. Ao dividir uma pizza, por exemplo, entre duas pessoas, o objeto “pizza” deve ser dividido em duas partes iguais, e cada uma dessas pessoas ficará com uma dessas partes.

A divisão é uma operação básica da Matemática, assim como a multiplicação, adição e subtração. Multiplicação e divisão são operações inversas, por isso, a “prova real” da divisão é feita por meio de uma multiplicação.

Imagine uma divisão entre dois números quaisquer. O número que será dividido é chamado Dividendo (D), o número pelo qual o dividendo será dividido é chamado de divisor (d) e o resultado dessa divisão é chamado de Quociente (q). Em alguns casos, uma parcela chamada Resto (r) é formada no processo de divisão.

♦ Algoritmo da divisão

O algoritmo utilizado no Brasil para realizar a divisão é conhecido como “método da chave”. Para realizar a divisão por meio desse algoritmo, devemos dispor os elementos da seguinte maneira:

Dividendo | divisor
     Resto       Quociente

O quociente será um número que, multiplicado pelo divisor, terá como resultado o dividendo, isto é,

q·d = D

Caso essa divisão tenha resto, escreve-se:

r + q·d = D

Portanto, para realizar uma divisão pelo método da chave, temos como pré-requisito saber toda a tabuada de multiplicação.

♦ Aplicando o algoritmo da divisão

Exemplo 1 - Observe a divisão de 9 por 3:

9 | 3
-9  3  
0     

Nesse caso, observamos: Dividendo = 9, divisor = 3, quociente = 3 e resto = 0. Podemos escrever a seguinte expressão:

r + q·d = D

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

0 + 3·3 = 9

Nesse caso, não houve resto.

Exemplo 2 - Observe agora a divisão de 92 por 2. Nesse caso, em um primeiro momento, divida 9 por 2 e coloque o resto 1. Observe que 4·2 +1 = 9, logo, colocamos 4 no quociente, o resultado de 4·2 abaixo do 9 (que é o número que estamos dividindo nesse primeiro momento) e diminuímos 9 por esse resultado. O resto é 1.

92 |   2  
-8    4  
      

Ao lado do resto 1, “desça” o próximo algarismo do dividendo:

92 |   2   
-8       4    
12          

Agora repita o processo para o número 12, formado pelo resto e pelo próximo número do dividendo inicial:

92 |   2   
-8      46  
12          
-12           
0         

O resultado dessa divisão é 46. Podemos escrever, portanto, a seguinte expressão:

r+ q·d = D

0 + 46·2 = 92

Exemplo 3 - Observe agora a divisão de 486 por 2. Dividimos 4 por 2, depois dividimos 8 por 2 e depois dividimos 6 por 2, seguindo os passos detalhados no exemplo anterior.

486 |    2   
-4        243  
08             
-8            
06          
-6         
0         

Se o primeiro algarismo do dividendo for menor que o divisor, considere os dois primeiros. Se mesmo assim continuar menor, considere os três primeiros e assim sucessivamente. Observe a divisão de 361 por 30: 3 é menor que 30 e, por esse motivo, consideramos 36 para a primeira divisão:

361 | 30
-30    12  
61      
-60       
1     

Desse modo, podemos escrever 361 = 1 + 30·12.

Como descobrir o dividendo é o divisor tendo o quociente é o resto?

dividendo = divisor x quociente + resto Toda vez que aplicarmos essa relação, poderemos descobrir o valor do dividendo, desde que se conheçam os demais valores.

O que se pode dizer sobre o quociente de uma divisão em que o dividendo?

Em uma divisão, o quociente é o valor que se obtém ao dividir o dividendo pelo divisor. O quociente representa o número de vezes que o dividendo contém o divisor.

O que é divisor quociente é resto?

O número que será dividido é chamado Dividendo (D), o número pelo qual o dividendo será dividido é chamado de divisor (d) e o resultado dessa divisão é chamado de Quociente (q). Em alguns casos, uma parcela chamada Resto (r) é formada no processo de divisão.

É possível ter um resto maior ou igual ao divisor?

Em toda a divisão, o valor numérico do resto sempre será menor que o número referente ao divisor.