Determine a soma dos quadrados dos n primeiros inteiros positivos, ou seja, calcule Show Solução: Considere a identidade já nossa velha conhecida, obtida da fórmula do cubo de uma soma ( a +b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, fazendo a = n e b = 1.Vamos fazer sucessivamente, n = 0, 1, 2, ...,n na identidade acima: n = 0: (0+1)3 = 13 = 03 + 3.02 + 3.0 + 1 Somando membro a membro as (n + 1) igualdades acima, vem: 13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n+1)3 = Nota: Observe que o número 1 aparece (n+1) vezes, daí, (n+1).1 = (n+1). Simplificando a expressão acima, observando que os termos de expoente 3 cancelam-se mutuamente, fica: (n + 1)3 = 3(12+22+32+...+n2) + 3(1+2+3+...+n) + (n+1). Ora, a soma 12 + 22 + 32 + ... +n2 é justamente o que estamos procurando.
Vamos chama-la de S. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n+1)/2 Substituindo, fica: (n + 1)3 = 3.S + 3.n(n+1)/2 + n+1. Isolando o termo 3S, vem: 3S = (n+1)3 – (n+1) – 3n(n+1)/2 Multiplicando ambos os membros por 2, vem: 6S = 2(n+1)3 – 2(n+1) – 3n(n+1) Colocando n+1 em evidencia no segundo membro, fica: Efetuando as operações indicadas no segundo membro, vem: 6S = (n+1).n.(2n +1) Finalmente, fica: A fórmula acima, permite o cálculo da soma dos quadrados dos n primeiros números naturais positivos, ou seja 12+22+...+n2. Como a soma S acima é sempre um número inteiro, podemos concluir da expressão acima, que o produto n(n+1)(2n+1), sendo n um número natural, é um número divisível por 6. Como n(n+1)(2n+1) = (n2+n)(2n+1) = 2n3 + 3n2 + n, podemos dizer de uma forma genérica que o valor numérico do trinômio 2n3 + 3n2 + n será sempre um número divisível por 6, para todo número natural n. Exemplo: Qual a soma dos quadrados dos 20 primeiros números naturais positivos? Teremos, fazendo n = 20 na fórmula anterior: Paulo Marques, 12 de Novembro de 2000 - Feira de Santana - BA. Revisado e ampliado em 25/12/2004. VOLTAR If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website. Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados. Questão 5 (IBMEC-04) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual: a) a diferença dos quadrados dos dois números. b) a soma dos quadrados dos dois números. c) a diferença dos dois números. d) ao dobro do produto dos números. e) ao quádruplo do produto dos números. Respostas Resposta Questão 1 Podemos resolver esses produtos notáveis através da seguinte ideia: “O primeiro termo elevado ao quadrado mais (ou menos) o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.” a) (x + y)2 = x2 + 2.x.y + y2 b) (2a + b)2 = (2a)2 + 2.2a.b + b2 = 4a2 + 4ab + b2 c) (x – 5y)2 = x2 – 2.x.5y + (5y)2 = x2 – 10xy + 25y2 d) (3 – a3)2 = 32 – 2.3.a3 + (a3)2 = 9 – 6a3 + a6 Resposta Questão 2 Utilizando o princípiodo quadrado da soma, temos que: (x + y)² = x² + 2.x.y + y² Podemos reescrever essa igualdade da seguinte forma: (x + y)² = x² + y² + 2.x.y Sabemos que x² + y² = 20 e xy = 3, substituindo esses valores na igualdade acima, temos: (x + y)² = 20 + 2.3 Portanto, (x + y)² = 26. Resposta Questão 3 a) (3m + n)² + 2n² Desenvolvendo o produto notável, temos: (3m + n)² + 2n² Portanto, (3m + n)² + 2n² = 9m² + 6mn + 3n² b) (2a + 2b)² – a.(a – 2b) Desenvolvendo o produto notável e aplicando a propriedade distributiva, temos: (2a +
2b)² – a.(a – 2b) Portanto, (2a + 2b)² – a.(a – 2b) = 3a² + 10ab + 4b² Resposta Questão 4 A fim de fazer aparecer  Aplicando a propriedade do quadrado da soma, temos: b² = x² + 2.x. 1 + 1² Portanto: x² + 1 = b² – 2 Resposta Questão 5 Para resolver o exercício, vamos considerar x e y como reais. O quadrado da soma de x e y é representado por (x + y)2e o quadrado da diferença é representado por (x – y)2. A diferença entre eles pode ser feita da seguinte forma: (x + y)2 – (x – y)2 Desenvolvendo o quadrado da soma e da diferença através das propriedades de produtos notáveis, teremos: x2 + 2xy + y2 – (x2 – 2xy + y2) A alternativa correta é a (e), pois, desenvolvendo a diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números x e y, obtivemos 4xy, isto é, o quádruplo do produto dos números. Resposta Questão 6 a) o produto dos dois números Se x e y são números positivos, a soma de seus quadrados é 4: x² + y² = 4 A soma dos inversos de seus quadrados é 1: 1 +
1 = 1 Tirando o mínimo múltiplo comum do primeiro membro da equação, teremos: y² + x² = 1 Passando o x2.y2 para o segundo membro da equação, teremos: y² + x² = x².y² Que é o mesmo que escrevermos: (x.y)² = y² + x² Mas x² + y² = 4, então: (x.y)² = 4 Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da equação, teremos: √(x.y)² = √4 Portanto, o produto de x e y é 2. b) a soma dos dois números Chamemos de n a soma de x e y, isto é: n = x + y Se elevarmos ao quadrado ambos os lados da equação, teremos: n² = (x + y)² Aplicando a propriedade do quadrado da soma no segundo lado da igualdade, teremos: n² = x² + 2xy + y² Podemos organizar o segundo membro da equação convenientemente da seguinte forma: n² = 2xy + (x² + y²) Não conhecemos o valor de x e de y, mas sabemos que x.y = 2 e x2 + y2 = 4, portanto: n² = 2.2 + (4) Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da equação, teremos: √n² = √8 A soma dos dois números é 2√2. Qual a soma de um quadrado?O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.
Como faço para calcular a área de um quadrado?Como o quadrado tem lados iguais, basta pegar a medida de um dos lados e elevar ao quadrado. Para a realização usamos a fórmula da área A = b. h, assim um de seus lados será a base (b) e o outro a altura (h).
Qual é o valor de 4 ao quadrado?4 ao quadrado equivale a 16.
Por que 3 ao quadrado é igual a 9?Quando falamos de um número elevado ao quadrado, falamos desse número multiplicado por si (3 ao quadrado é 3x3), e quando falamos da raiz quadrada de um número, falamos do número que ao quadrado é igual àquele, primeiro, número (a raiz quadrada de 9 é 3 porque 3x3 = 9).
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Qual é a soma de um quadrado?
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