Uma pessoa no ponto a vê um prédio, construído em um terreno plano sob um ângulo de 60 graus

Página inicialTrigonometriaUm observador vê um edifício, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60º.Se ele se afastar do edifício mais 30m, passará a vê-lo sob ângulo de 45º.Calcule a altura do edifício.

Vamos lá?

h = altura do edifício

x = distância inicial entre o observador e o edifício

Queremos a Tangente de 60º:

Tangente é uma função trigonométrica calculada a partir da divisão entre os catetos oposto e adjacente de um triângulo retângulo. Triângulo retângulo nada mais é do que uma figura geométrica com três ângulos internos e composto de catetos (menores lados) e hipotenusa (maior lado), conforme ilustração abaixo.

sen 60° = √3/2

cos 60° = (1/2)

Equação .............. (I)

tg 60° = h/x = tg 60° = sen 60°/cos 60° = (√3/2)/(1/2) = √3

h/x = √3

Equação ........ (II)

h/(x+30) = tg 45° = sen 45°/cos 45° = (√2/2)/(√2/2) = 1

h/(x+30) = 1

De (I) e (II), deduzimos:

h = x√3

h = x+30

x√3 = x+30

x(√3-1) = 30

x = 30/(√3-1)

Racionalizando o denominador, fica:

x = 30(√3+1)/(√3-1)(√3+1)

x = 30(√3+1)/(3 - 1)

x = 30(√3+1)/2

x = 15(√3+1)

Logo, a altura do edifício é:

h = x+30 = 30+x

h = 30 + 15(√3+1)

h = 15(2 + √3+1)

h = 15(3+√3) m

Como √3 = 1,73

h = 15(3+1,73) m

h = (15 * 4,73) m

h = 70,95 m

QSL?

Postagem em destaque

Exercícios resolvidos sobre razões trigonométricas no triângulo retângulo

01) Um topógrafo instala um teodolito a uma altura de 1,7 metros do solo e observa o topo de um prédio sob um ângulo de 40º. Estando o teodolito e o prédio em um mesmo terreno plano e distantes um do outro 80 metros, determine a altura do prédio, aproximadamente. Dado tan 40º = 0,84.

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02) Na praia foi medido a distância entre dois pontos distintos A e B conforme mostra a figura. A distância de A até B é 750 metros e de A até P é 620 metros, além do ângulo B de 60º. Encontre a distância, em metros, da ilha até a praia (aproximadamente).

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03) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento para medir ângulos) a 200m do edifício e mediu um ângulo de 30º, como indicado na figura abaixo. Sabendo que o teodolito está a 1,5 m do solo, encontre a altura do edifício.

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04) Calcule o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos assinalados nos triângulos a seguir:

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05) Num triângulo retângulo, os catetos medem 2 metros e 3 metros. Sendo α o menor ângulo desse triângulo, calcule o seno, o cosseno e a tangente de α.

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06) Uma torre vertical construída sobre um plano horizontal, tem 25m de altura. Um cabo de aço, esticado, liga o topo da torre até o plano, fazendo com o mesmo um ângulo de 60°. Qual o comprimento do cabo de aço?

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07) Uma pandorga está presa a um fio de 50 metros de comprimento. Desprezando a curvatura do fio, determine a que altura se encontra a pipa num instante em que o ângulo entre o fio e a horizontal é de 45º.

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08) Um observador, distante 50 metros da base de um prédio, vê o ponto mais alto do prédio sob um ângulo imaginário de 20°, em relação à horizontal. Determine a altura do prédio. (Dado tan 20° = 0,36).

OBS: 50 é o cateto adjacente ao ângulo de 20º e x (a altura do prédio) é o cateto oposto ao ângulo de 20º.

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09) Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 30°, em relação à pista. Quando percorrer, em linha reta 5000 metros, qual será a altura atingida pelo avião?

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10) Quando o sol está a 65º acima do horizonte, qual é o comprimento da sombra projetada no solo por um edifício de 27 metros de altura? (Dado tan 65º = 2,14)

OBS: 27 é a medida do cateto oposto ao ângulo de 65º e x é a medida do cateto adjacente ao ângulo de 65º.

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11) Um navio, situado exatamente a leste de um ponto A, está distante 10 milhas desse ponto. Um observador, situado exatamente ao sul do navio, vê o ponto A sob um ângulo de 40°. Calcule a distância do observador para o navio. (Dado tan 40° = 0,83)

OBS: 10 é a medida do cateto oposto ao ângulo de 40º e x é a medida do cateto adjacente ao ângulo de 40º

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12) Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10º em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 metros de comprimento, a quantos metros o caminhão se eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa?(Dado sen 10º = 0,17)

OBS: 30 é a medida da hipotenusa e x é a medida do cateto oposto ao ângulo de 10º.

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13) Uma torre de rádio, bem alta, é presa por longos cabos, como AB na figura ao lado. Se A está a 75 metros da base da torre e se α = 59°, qual é o comprimento do cabo? (Dado cos 59º = 0,85)

OBS: 75 é a medida do cateto adjacente ao ângulo de 59º e x é a medida da hipotenusa.

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