Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo externo e igual a 15?

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Projeto Jovem Nota 10
Diagonais e Soma dos Ângulos Internos de um Polígono – Lista A
Professor Marco Costa
Diagonais e soma dos ângulos internos de um polígono.
 Soma dos ângulos internos de um polígono
Si = 180 (n – 2)
 Soma dos ângulos externos de um polígono
A soma dos ângulo externos de um polígono sempre é igual a 360°.
Se = 360°
 Número de diagonais de um polígono
2
)3( 

nnd
Exercícios:
1. Qual o número de diagonais do octógono.
a) 30
b) 50
c) 20
d) 14
e) 9
2. Qual é o polígono em que o número de diagonais é o triplo do número de lados?
a) hexágono
b) octógono
c) eneágono
d) decágono
e) pentadecágono
3. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é de 900°. Calcule o número
de diagonais desse polígono.
a) 5
b) 15
c) 14
d) 9
e) 28
4. Três polígonos regulares têm respectivamente n, n + 1 e n + 2 lados. Calcule quantos
lados têm cada um sabendo que a soma de todos os ângulos internos vale 1620°.
a) 3, 4 e 5
b) 4, 5 e 6
c) 5, 6 e 7
d) 6 , 7 e 8
e) 7 , 8 e 9
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Projeto Jovem Nota 10
Diagonais e Soma dos Ângulos Internos de um Polígono – Lista A
Professor Marco Costa
5. Calcular a soma dos ângulos internos e a dos ângulos externos de decágono.
6. Qual é o polígono convexo cujo soma dos ângulos internos é 1800º?
7. A soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lado é 2340º. Determinar n.
8. Ache o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual a 1080º.
9. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo aumentada da soma dos
ângulos externos desse polígono é igual a 1620 graus. Qual é o polígono?
10. A soma dos ângulos internos de um polígono excede a soma de seus ângulos
externos de 540º. Qual o número de lados desse polígono?
11. Qual o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos excede a soma dos
ângulos externos de um ângulo de meia volta?
12. Dê o número de lados do polígono convexo no qual a soma dos ângulos interno
excede de 720º a soma dos ângulos externos. 
 
13. Qual é o polígono convexo em que a soma dos ângulos internos é igual a soma dos
ângulos externos? 
 
14. O polígono regular cujo ângulo interno mede 162º é ..........................................
 
15. Quantos lados tem um polígono regular convexo cujo ângulo interno mede 144º?
 
16. Quanto vale o ângulo interno de um polígono regular de 9 lados? 
 
17. Quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo exterior mede 15º?
18.Qual é o polígono regular cujo ângulo externo mede 45º?
19. Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo interno mede 156º?
20. Qual é o polígono regular cujo ângulo interno é igual ao ângulo externo ?
21. Quanto]s lados tem o polígono regular cujo ângulo interno é o dobro do externo?
22. A diferença entre o ângulo interno e o externo de um polígono regular convexo é de
60º. Quantos lados tem o polígono?
23. A soma dos ângulos internos de um polígono regular é igual a 1260º. Determine o
valor do ângulo externo .
24. Qual é o polígono regular cujo ângulo externo aumentado de um ângulo reto é
igual ao seu ângulo interno ?
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Projeto Jovem Nota 10
Diagonais e Soma dos Ângulos Internos de um Polígono – Lista A
Professor Marco Costa
GABARITO:
1. C 2. C 3. C 4. C
5. 1440º e 360º
6. Dodecágono
7. 15; 8. Octógono
9. Eneágono 10. 7
11. Pentágono 12. 8
13. Quadrilátero 14. Icoságono
15. 10 16. 140
17. 24 18. Octógono
19. 15 20. Quadrado
21. 6 22. 6
23. 40ª 24. Octógono
3

Entre os elementos de um polígono, estão os lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos. Quando o polígono é convexo, também podemos pensar nas suas diagonais e criar propriedades como a soma de seus ângulos internos e a soma de seus ângulos externos. Essa última propriedade deve sempre ser igual a 360°, em todo polígono convexo. Isso é resultado da definição dos ângulos externos, aliada a algumas propriedades envolvendo ângulos que serão discutidas mais adiante.

A soma dos ângulos internos varia de polígono a polígono, dependendo de seu número de lados. Assim, desde que convexos, os polígonos:

a) Que possuem três lados têm soma dos ângulos internos igual a 180°;

b) Que possuem quatro lados têm a soma dos ângulos internos igual a 360°;

c) Que possuem n lados têm a soma dos ângulos internos igual a (n – 2)180.

Definição de ângulo externo

Um ângulo externo é a abertura entre o prolongamento de um lado de um polígono e o lado adjacente a ele. Observe, por exemplo, os ângulos externos da figura a seguir:

Os ângulos assinalados com as letras gregas α, β, γ, δ e ε são externos, pois representam justamente a abertura entre um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente a ele.

Propriedades relacionando ângulos externos e ângulos internos

Perceba que sempre existe um ângulo interno que compartilha um lado de um polígono com um ângulo externo. Observe também que esses dois ângulos estão sempre sobre a mesma reta, já que o ângulo externo depende do prolongamento do lado do polígono. Dessa forma, garantimos que a soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente a ele é igual a 180°. Em outras palavras:

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Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele sempre são suplementares.

No pentágono regular acima, temos um ângulo interno e um externo. Como o pentágono é regular, cada um de seus ângulos internos mede 108°. Assim sendo, cada um de seus ângulos externos medirá 72°.

Observe que existem exatos cinco ângulos externos nesse polígono, e que todos medem 72° porque o polígono é regular.

5·72 = 360°

Demonstração

Independentemente de qual seja o polígono convexo e sua quantidade de lados, ou do fato de todos os lados possuírem medidas diferentes, cada ângulo interno (Si), somado ao seu ângulo externo adjacente (Ai), deve ter como resultado 180°:

Si + Ai = 180°

Seja S a soma de todos os ângulos internos e A a soma de todos os ângulos externos, em um polígono de n lados, temos também n ângulos internos e n ângulos externos. Assim:

S + A = 180·n

A soma dos ângulos internos nós já conhecemos, pois ela é obtida pela expressão: S = (n – 2)180. Substituindo S por essa expressão na equação anterior, temos:

S + A = 180n

(n – 2)180 + A = 180n

180n – 360 + A = 180n

Como queremos descobrir a soma dos ângulos externos de um polígono, isolaremos a incógnita A no primeiro membro:

180n – 360 + A = 180n

A = 180n + 360 – 180n

A = 360°

Portanto, fica demonstrado que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°.

Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo externo é igual a 15?

Quantos lados tem um polígono cujo ângulo central é 15?

Qual o número de lados de um polígono regular que tem a medida do ângulo externo igual a 12?

Quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo?